数形结合在高考题中的应用

朱琦

摘要：数形结合是中学数学中重要的数学思想方法之一，它也是解答高考数学试题一种常用方法与技巧。本文通过比较数形结合思想的试题在历年高考中的比重，以及典型例题，阐述了数形结合思想在解题中的作用。

关键词：数形结合；高中；解题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2016）03-0000-01

引言：

我国已故著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这恰恰体现了“数与形”不可分割的关系。“数与形”反映了事物两个方面的属性，在数学发展过程中，数与形常常结合在一起，内容上互相联系，方法上互相渗透，并在一定的条件下互相转化。纵观多年来的高考试题，它对数形结合的思想与方法有着较高的要求，巧妙运用这一思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。

一、数形结合思想与高中数学教学

（一）从新课程数学内容的特点来看数形结合思想。

新高中数学课将精选出代数、几何等基础知识综合为一门学科，这样有利于精简教学内容，有利于数学各部分内容相互的联系，有利于数学思想方法的相互渗透。新教材充实了平面向量和空间向量，这些改革都有利于“形”与“数”的结合。

（二）数形结合思想在高中数学教学中的作用。

1.有助于学生形成和谐、完整的数学概念。

2.有助于拓展学生寻找解决问题的途径。

3.有助于学生数学思维能力的发展。

4.利用数形结合，唤起学生对数学美的追求。

二、数形结合思想在高考解题中的应用

1.数形结合思想在平面几何和立体几何中的应用。

例：（2007年四川卷） 是同一平面内的三条平行线， 与 间的距离是1， 与 间的距离是2，正三角形 的三顶点分别在 ， ， 上，则三角形 的边长是（）

2.数形结合思想在集合问题中的应用。

集合运算中常常借助于数轴、venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，运算快捷明了。

例：（2008年北京卷）已知全集 ，集合A= ，B= ，那么集合 等于（）

3.数形结合思想在圆锥曲线中的应用。

例：（2010年天津卷） M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： .

求点P的轨迹方程。

4.数形结合思想在三角函数问题中的应用。

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

例：（2013年浙江卷）方程 ， 的实数解的个数是（）

A.2 B.3 C.4 D.以上均不对

5.数形结合思想在平面向量问题中的应用。

向量集数与形于一身，既包含代数的抽象性又包含了几何的直观性，因此数形结合思想是解决向量问题的有力工具。

例：已知向量 ， ，则向量 的长度的最大值是

6.数形结合思想在方程问题中的应用。

处理方程时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题。

例：实系数方程 的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求 的取值范围

7.数形结合思想在不等式中的应用。

在有些不等式的证明过程中，根据已知条件的结构特点，联想它所表示的几何图形的意义，通过图形启发思维，找到简洁的证明思路。

例：不等式 解集为_________。

8.数形结合思想在数列中的应用。

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

例：设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为_________。

小结：

数形结合思想在每年高考的选择题、填空题都会涉及到数形结合思想来快速解答，而压轴题也会涉及到数形结合思想。因此，对数形结合的活学活用是进一步提高分数的关键。

抓住数形结合思想不仅能提高学生数形转化能力，而且可以提高学生的思维能力。俗语有云“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。

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