追溯数学本质促进深度理解

张莉

笔者一直在思考：什么是理解？什么是数学理解？怎样才算是真正地理解？理解带来的终极目标是什么？

实际上，要真正做到理解并不容易，首先要花费精力让事物本身的内容显露出来，其次要尊重事物原来的特点，合乎事物本来的道理。运用到数学教学中，则是指学生在经历知识形成的过程中，会操作、会辨别、会用自己的语言来描述，会应用所学的知识来解决生活中的实际问题。即经历数学体验，追溯数学本质，促进深度理解，推动创造性思维的发展。

本文以北师大版一下第一单元“买铅笔”为例，从课堂教学过程、学生分享交流和课后实践应用这三个方面来论述促进学生深度理解的几点尝试。

一、教学中挖掘学生的思维深度

课堂上，首先展示具体情境：熊猫商店里有15支铅笔，兔妹妹购买了9支。随后提出数学问题：还剩下多少支铅笔？结合已学知识，学生迅速列出了算式：15-9，并直接报出了结果6。面对学生已经知道15-9的计算结果，并且大多数学生都会进行计算的现实情况，笔者思考：他们计算正确的原因是什么？他们计算的方法是怎样的？他们理解为什么这样算吗？既然有计算器辅助生活，他们有理解20以内退位减法算理的必要吗？

一般情况下，面对教学中学生都会的现实，缘于对计算算理的追问，教师们可能会进行以下处理：①表扬会算的学生，再出示同类计算题进行训练；②请学生描述自己的思考方法；③了解学生的认知起点，沟通各算法间的联系。选择①说明对数学的运算教学停留在粗浅的会计算阶段，学生对知识的学习也将一直停留在知道和了解的初级层面。选择②则说明教师的课堂已转向帮助学生经历过程，理解算理的较深层次。而选择③，就意味着对知识的理性分析与判断，透过现象发现本质，发现内在的联系，激起深度思考。如果能让学生经历操作的过程，通过实物边摆边讲，清楚陈述自己的思考与发现，再抽象出其原型，理清一类运算的基本方法，沟通知识间前后的联系，比较不同方法之中的相同之处，就可以追溯数学的本质。

笔者在课堂中是这样处理的。笔者：“你们真了不起，一眼就知道答案了。谁愿意把你的思考和大家分享呢？”生：“我知道9+6=15，所以15-9=6。”生：“我会算15-5=10，所以15-6=9，15-7=8，15-8=7，15-9=6。”生：“先用15中的10-9=1，再用1+5=6。”生：“15先减10，再加1。”……

当学生断断续续出现了这么多不同的思维方式时，除了感慨学生思维的多样化，笔者依然花大力气让学生拿出小棒，通过摆一摆、画一画的形式再次感悟了这样计算的动态思维过程，并通过课件的动态展示，又一次经历了小棒从1捆拆开的过程，真正实现了算法与算理的融合。可是课后反思交流中，也有教师质疑：我们需要倾听学生这么多的算法吗？学生会说了，还有动手拼摆的必要吗？有没有必要小结并提出最优化的计算策略呢？

站在知识教学的角度，我们已圆满地完成了“十几减9的退位减法”教学，静下来再思考，我们的教学真正实现了数学思维的深层发展了吗？学生收获的数学思想方法是什么？学生学会退位减法计算的终极目标是什么？反思这些，再回归课堂，于是便有了对“十几减9”这节退位减法课进一步的思考：学生想到的这些算法中，哪些有必要重点经历思维过程，理解算理？这些算法有什么共同点？学生在什么样的背景下才想到这些不同的算法？学生现在思考的这种算法，他在今后的学习生活中会常用吗？他喜欢自己的这种算法吗？这些算法的理解对学生今后的发展有什么影响？追溯本源，学生呈现的不同的思维方式，是每个学生在自己已有知识经验的基础上，大脑不断进行想象与重组后对这个算式的理解。种种不同的思维方法，有些穷其一生也可能不会再用到，但其中学生们个体的分析与交流，从他们经历的分析推理中都真实再现了每个学生站在自己个体的角度对运算的深层理解。这其实就是创造性思维发展的一个源头。

二、分享中拓展学生思维宽度

我们常说，知道了就是了解了；会说了便是懂了；懂了即是理解了。语言是思维的外衣，正确的数学语言能更准确、清晰地反映一个人的思维过程，当我们在数学知识的研究领域里，能够用自己的语言清楚、流畅地表达自己的思维过程，展示思维能力的发展水平时，也可以说，我们真正实现了数学理解，而学生则在理解的基础上拓宽了自己的思维。

在教学“15-9”的过程中，当教师问道：“谁愿意和大家分享一下自己的思考过程。生：“15根小棒可以捆成1捆和散着的5根，先用左边的1捆即10根减去9根后还剩下1根，再将这1根与旁边的5根合在一起就是6根，即将减法15-9转化为1+5进行计算。”生：“我是先拿走旁边散着的5根，再从1捆中拿走4根，即将15-9写成15-5-4=6。”生：“我可以先借来4根，原来有15根，就变成了19根，19-9=10，可是先借来的4根要还回去，所以再用10-4=6，你们明白了吗？”……

学生知道这个结果容易，听懂别人的方法也不太费事，但是将自己的思维过程用别人能懂的语言完整地组织并描述出来，却是有一定难度。能够这样清晰地表达必须经历几个过程：①经历实际操作的过程；②在脑海中将具象与经验进行重组；③大脑对组合的事实进行深入分析；④学生经验连接语言组织进行理性判断；⑤验证思考。这一系列的动态分析过程，靠眼睛是观察不到的，必须是大脑内部的瞬间重组。而语言的表达则将思考的过程外显出来，让我们可见、可感、可知。同时，大脑这一分析的过程，通过学生的讲解与陈述，凸显了思维的变化：即懂、了解的基础，到理清，再到理解的全过程。其中，渗透着学生个人的理解与创造，拓宽了学生思维，为后面学习减法的性质进行简便运算埋下伏笔。

三、应用中实现学生对数学的深度理解

深度理解知识蕴含的其中一个意义便是能在生活中灵活应用所学知识来解决实际问题。数学即应用，数学学习的最高境界是应用，应用意识与创造能力是密不可分的。因此，学会基本的数学知识，掌握必备的数学技能，潜意识里调动脑海中的数学信息灵活解决问题，并在生活中游刃有余，那便是真正理解了。

计算是生活的必备技能。生活中每天都会伴随着运算：购物的策略比较，旅行费用的设计与比较，家庭各种支出与收入的计算，工资的合理安排，房屋的装修设计等，无一不渗透着数学在生活中的价值。而对数据的分析与比较，对最优化选择的推理与思考，时时处处应用着数学知识灵活解决数学问题，推动着我们对数学本质意义的深层理解，彰显着数学理解中信息处理、逻辑思维推理分析的强大魅力。

（作者单位：湖北省宜昌市西陵区外国语实验小学 本专辑责任编辑：王彬）