数学概念教学“三步走”

吕云海 黄光玉

【摘 要】《普通高中数学课程标准（实验）》中强调对基本数学概念和思想的理解与掌握。高中阶段的数学概念教学可以从前后知识的联系出发引入概念，引导学生经历数学概念的形成过程，在运用中逐步理解概念的本质。

【关键词】概念教学；数学概念；“函数的奇偶性”

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）23-0038-02

【作者简介】1.吕云海，南京师范大学（南京，210024）教师教育学院硕士研究生；2.黄光玉，南京市金陵中学（南京，210005）教师，一级教师。

“数学是玩概念的”，这是广大数学教师都耳熟能详的一句话。这也体现了数学中概念教学的重要性。数学概念的形成过程，说到底是归纳、概括、抽象的过程。那么，数学概念该怎么教呢？笔者认为，教学中应当让学生经历概念的形成过程，了解知识的来龙去脉，强化对数学思想的应用，积累数学活动经验。接下来，笔者以“函数的奇偶性”的教学为例，谈谈对高中数学概念教学的思考。

一、概念引入时注重前后知识的联系

皮亚杰的认知发展理论告诉我们，学习是新旧知识顺应和同化的过程，新知识是旧知识的自然生长。初中阶段，学生的认知水平以形象思维为主，他们看到的知识往往是割裂的。高中阶段，学生的抽象思维和逻辑能力有所提高，他们能认识到前后知识之间是有联系的，在学习新知识的同时也能对旧知识起到复习巩固的作用。例如，在研究边长为1的正方形对角线长度时，发现找不到已有的数与之对应，于是在整数和分数的基础上我们引入了无理数的概念。这样将新旧知识串起来，学生便能对数域的分类有更系统的认识。因此，在概念教学中可以利用合适的问题情境，沟通前后知识之间的这种内在联系，通过类比、联想、迁移逐步揭开数学概念的本质，让学生从整体性、系统性上感受引入新概念的必要性。

以“函数的奇偶性”概念教学为例。首先，在地位上，它是本章在学习了函数的定义域、值域、单调性之后，对函数性质的进一步研究。其次，在内容上，从数的角度看，f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），它揭示的是自变量互为相反数时函数值之间的特殊关系（相等或互为相反数）；从形的角度看，它描述的是函数图象的一种对称性（轴对称或中心对称）。这就在“函数性质”和“对称性”之间构建了一座对接的桥梁，给新概念的引入提供了思路。

在引入概念前，先带领学生回顾本章已经学习过的内容：定义域、值域、单调性。“那么，函数还有其他性质吗？”这样便引入一种新的性质。这样的设计，使本章节的知识脉络一目了然。在引入概念时，先展示一组生活中的图片：蝴蝶、麦当劳标志、太极图等，让学生总结这些图的共同特征。有了初中对称性的基础，学生不难说出它们都是对称图形。再通过追问，带领他们回顾轴对称和中心对称的特征。“那么，此时该如何搭建起‘对称性与‘奇偶性之间的桥梁呢？”从两者的属性上看，这其实是在“形”和“数”之间寻找某种联系，而关于数形结合的思想，学生是有一定认知基础的。基于这样的考虑，笔者设计了这样的问题：“对称性，直观上看它是一种几何性质，然而‘形无数时难入微，能否从代数的角度去研究这种特征，用符号语言去刻画这种对称性？”至此，利用前后知识的联系创建了问题情境，接下来便是引导学生经历概念形成的过程。

二、概念形成时渗透数学思想

日本数学教育家米山国藏说过，学生在学校学的数学知识会很快忘记，唯有深深铭刻在心中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地在发生作用，使他们终身受益。新概念的建立过程中蕴含着丰富的数学思想，因此，笔者将数学思想作为学生形成新概念的切入点。

教材中在处理本节内容时，先列举实际生活中的对称现象，接着从两个具体函数的图象出发，观察到两个图象分别是轴对称和中心对称的，然后通过特殊点，归纳出当自变量取相反数时，其对应的函数值之间的关系。这样的设计固然合理，但笔者认为这样的过程学生参与度不高，积极性没有被调动起来，学习能力也没有得到锻炼。秉着“促进学生发展”的原则，笔者设计了如下的教学思路。

在概念形成时，先以轴对称图形为例研究“偶函数”。笔者提出要从数的角度去研究对称性，学生对此可能会有疑惑，他们知道这里蕴含了数形结合的思想，但还是不会具体操作，这时可以发挥教师语言的引导作用：什么数学模型可以将“数”和“形”的研究结合起来？利用数形结合研究的重要工具是什么？当然是函数模型和坐标系。有了坐标系，图形就成了函数图象，图象的对称就可以转化成点的对称，而点的对称经过符号化，就可以转化成坐标之间的关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，即f（-x）=f（x）。具备如此数量关系的函数，我们便定义为“偶函数”。

经历了轴对称图形的研究，我们获得了“偶函数”的概念，那么，中心对称的背后又隐藏着什么结论呢？学生通过类比，不难得到f（-x）=-f（x），于是“奇函数”的概念也自然形成。至此，反复经历“选图—抽象—建系—设点—符号化—归纳—总结”的探究过程，数形之间建立了联系，知识得到有效迁移，抽象、模型、数形结合、转化、符号化、类比等一系列数学思想得到渗透，学生的学习能力也得到充分的提高。

当然，学生在形成概念的过程中，得到的结论往往是比较粗糙、肤浅、不规范的，为了进一步凝练和升华这些知识，形成科学的概念，教师的引导和启发作用至关重要。此外，概念的形成必须建立在学生已有的基础上，教师要对学生的认知水平有较为准确的判断，提问要便于学生思考，否则问题要不就过于简单，无法调动积极性，要不就过于困难，会打击学生自信心。教师要对知识的背景、形成过程有细致的理解，做好课前预设，利用课堂生成，以获得良好的效果。

三、概念发展中提供反思质疑的机会

如果说概念形成的过程是概念教学的核心，那么处理好“概念发展”这一环节对教学而言便是画龙点睛之笔。这个过程非常考验教师的素质和水平，许多教师在教学中往往会忽略这一点，完全利用例题去巩固知识，使得学生对概念的认识仅仅停留在表面，没有对概念进行深一步思考的意识。莎士比亚说过，一千个人眼中就有一千个哈姆雷特。同一概念在不同学生的眼里自然会有不一样的理解。课堂是生成的活动，新课程改革重视教学中学生的主体地位，教师应当为学生提供反思和质疑的机会，学生的质疑不管对错，对教学而言都是生成性资源，它们的存在有些不是偶然的，是有利用价值的，解决得好能让学生对新概念有更清晰的认识。

在巩固“函数的奇偶性”概念时，学生就提出了这样的问题：函数的奇偶性既然表现出的是图象的对称性，为何不称这种性质叫“函数的对称性”？这个问题看似是无关紧要的题外话，其实背后有许多值得思考的地方。笔者便追问学生：在学习二次函数时，我们也研究了图象的对称性，它关于直线x=-■对称，那能否说二次函数也具有奇偶性呢？学生经过短暂的思考后领悟到，奇偶性揭示的是图象关于y轴或原点的特殊对称，一般的图象对称并不能称为具有奇偶性。于是，学生在经历问题的提出与解决后，对奇偶性的概念有了更深刻的认识。

综上所述，数学概念教学中，要全面落实学生的主体性地位，重视数学概念的二重性。既要关注概念形成的过程，以学生现有的知识和经验为依托，开展学习活动，渗透数学思想；也要从整体上把握概念的本质，在过程中不断寻求概念间的内在联系。■

【参考文献】

[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006.

[3]陶维林.“函数的奇偶性”该怎么教[J].中小学数学：高中版，2013（11）.