整体教学法在高中函数教学中的应用

虞盛启

[摘要]函数是高中教学的主线，函数的教学是高中数学教学的重点也是难点。由于高中函数内容的抽象性、分散性以及函数应用的广泛性、隐蔽性，学生在学习函数时大多数存在“只见树木不见森林”的感觉，经探究与实践，笔者采用整体教学法进行高中函数的教学，取得了较好的教学效果。

[关键词]高中函数；整体教学法；函数结构图；函数教学

函数是高中数学的主要板块，也是数学教学的主线，函数的教学贯穿于整个高中数学的始终，函数思想在高中数学中起到了横向联系和纽带的作用，不仅贯穿于高中代数的全过程，也应用于几何问题的解决（如在关于方程、不等式、解析几何等知识学习中，函数的思想方法是最有力的工具），而且在以后进一步学习的极限理论、微分学、积分学、微分方程及泛函分析等高等数学课程中，也是以函数作为基本概念和研究对象。另外，函数因其具有高度的抽象性和数学思想应用的广泛，也是历年高考考查的重头戏。但是由于主观和客观上的诸多原因，大多数学生学习函数时会有“只见树木不见森林”、“丈二和尚摸不到头脑”等现象。所以说函数的教学既是高中教学的重点也是难点，因此，如何更好地完成高中函数的教学任务，是我们每一位高中数学教师值得思考与探究的问题。

一、高中函数的教学思路与方法———整体教学法

笔者在多年的教学实践中发现，多半老师在进行函数教学时以章按节，照本宣科，往往只注重局部函数知识的教学，缺乏对教学内容的整合与联系。例如在必修一的函数概念教学时，有些老师不能很好地从整体上把握函数概念的教学目标，不了解函数概念的教学不仅要以初中学习的函数基础做铺垫而且应与后继的基本初等函数内容的学习联系起来“螺旋上升”，而是急切地期望学生对函数的概念理解能一步到位，于是对抽象的函数符号深扣深挖，并设置一些抽象的函数概念题进行训练，结果把学生搞得晕头转向，从而对函数学习形成了一种恐惧心理，甚至影响后继函数学习的信心。终其原因，主要是由于老师缺乏函数教学的整体观念，不能很好地从整体上把握函数的教学内容以及设定相应的教学目标。经思考与探究，笔者在教学中采用 “整体教学法”进行高中函数的教学，所谓整体教学法就是根据系统科学的整体原理，重视学科结构，所以整体教学法又称为结构教学法，20世纪50年代初布鲁纳就推崇结构主义教学论，他提出了学科的基本结构，他认为教师的教学要重视学科的基本结构，要对教材的结构进行梳理，要帮助学生获取和掌握学科的基本结构。事实证明，掌握学科的基本结构有助于更好地设定教学目标，培养学生的学习兴趣，增进学生学习的迁移，提高学习能力和学习效果。这里所谓的“学科结构”指一门学科的概念、原理、思想、方法及其相互联系形成整体。系统科学的整体原理告诉我们，学习和研究的最佳策略应遵循这样的公式：整体→部分→整体，即首先要认识学科的整体轮廓即学科的整体结构，初步获得学科的大体印象，然后再去研究部分，最后才能深入地认识完整的整体。在进行高中函数教学时，笔者首先精心梳理函数相关知识的结构图，在开始学习函数内容时首先给学生呈现函数的整体结构，并介绍结构中的各部分及其联系，让学生首先得到函数的“森林概貌”，初步形成“木与林”的部分与整体关系，并且在以后学习每一部分函数相关内容时反复重现函数的这种整体结构，这样有利于学生在函数的学习过程中整体地把握与函数相关联的各部分知识的内在联系并不断构建认知结构。

二、高中函数的整体结构图

在进行函数教学前教师有必要首先认真梳理高中数学课程中函数的结构脉络，了解函数教学的课程目标，这不仅有助于教师整体把握函数的教学内容、形成整体的教学思路、设定各部分的教学目标，而且有助于学生在了解函数的“森林概貌”的情况下，能更好地把握函数的学习主线，而且在以后的函数学习过程中 “既能见木又能见林”，便于更好地把握与函数相关联的各部分知识的内在联系、构建函数知识网络、形成应用意识。

高中数学教材中函数的结构脉络为函数的概念、具体的函数模型、函数的应用和研究函数的思想工具，整体函数结构图如下：

三、高中各阶段的函数教学分析及笔者作法

由上述的整体函数知识结构图可以看出，函数贯穿于整个高中数学的始终，所以应整体地、本质地理解和把握高中函数的主脉，在教学过程中应引导学生用函数的观点及其思想方法学习与函数相关的其他数学知识，同时还应了解和把握不同年级阶段对函数教学内容的不同教学要求和教学目标，体教学分析如下：

高一阶段学习函数是在初中初步学习了函数的概念、表示方法以及函数的作图并具体地学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的基础上，对函数概念再认识，即用集合、映射的观点理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并在此基础上研究指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的概念、图像和性质，从而使学生在第一阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养学生函数应用意识，为今后学习打下良好的基础。这一阶段教学应建立在衔接过度、发展学生的思维层面上，主要是建立学生识别图像、利用图像和画出图像的能力，初步形成数形结合的思想方法。此阶段教学重点应该放在概念的形成与建立上。高一数学必修一的教材第一章内容主题就是函数概念及函数性质的相关概念，教材这样安排使学生未见树木先看见森林的功效，对后面深入研究每一类具体函数有着指导意义。实践证明，最初得到“森林概貌”（对函数包括定义、图像、定义域、单调性、奇偶性、最值等的认识），能使学生在对具体函数研究上始终联系着“一般”（森林），用“一般”作指导，待具体函数都弄清以后，再总结概括为一般，而这时的一般是以具体问题为背景的。这时的具体问题又是以一般为指导的。从教材编排来看，这样做可使学生知识结构更加科学系统，更加符合学生的认知规律，更富启发性。此阶段教学应注重数形结合思想的培养与渗透。

高二阶段要进行不等式、线性规划、数列、圆锥曲线等知识的教学，教学过程中应使学生了解意识到这些知识都可以从函数角度加以认识，都是函数的不同展示形式，引导学生能够从函数的角度把问题转化。这一阶段教学重点应放在函数的应用上，通过函数这个载体，提升学生对相关知识的理解、应用及解决问题的能力，这一阶段的学习学生容易淡化函数在高中数学中的重要性。在这些知识的教学过程中，要将函数思想及其简单应用穿插其中，需要不断引导、强化，不断形成用函数观点看待问题，逐渐理解函数思想、数形结合等思想方法，并加以简单应用。再加上该阶段学习导数之后，使得函数研究如虎添翼。导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，导数在研究函数中的应用为我们解决基本初等函数及简单的复合函数问题提供了一种一般性方法，是解决实际问题强有力的工具，如在研究函数单调性、讨论函数图像的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等问题，运用导数解决这类问题能化繁为简，具有事半功倍的作用。

高三阶段一般要进行高考全面复习，函数复习仍然是复习的重点，首先应整体把握高考对函数内容的考法。我们知道函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中函数知识占有极其重要的地位。其试题不但考察函数基础知识，而且注重考查学生数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法。 从历年高考真题来看，考察内容主要为初等数学所学的函数内容，也不乏以高等数学函数相关的重要定理换成初等数学的叙述方式出题（如拉格朗日中值定理，有界性定理、函数的凹凸性、不动点原理等）。考察形式为填空题、选择题与解答题，选择、填空题履盖了函数的大部分内容，如函数的定义域、值域，函数的图像与性质（单调性、奇偶性、周期性等），而解答题除了三角函数属于基础题外其余的多以知识交汇题为主，不仅在内容上涉及函数与方程、不等式、数列、方程的曲线等多方面内容甚至以抽象函数或高等数学知识为背景，更注重对知识的综合应用能力以及数学思想方法的考查。因此，在函数复习过程中，首先应把握高考命题题型与趋势，其次复习策略的选择也很重要。此阶段，首先应夯实基础。笔者在复习过程中反复结合上述的函数整体结构图，进一步强化“总-分-总”的学习策略，同时要求学生进一步细化拓展这份结构图，使得每一部分内容都丰富起来，将所学知识系统化、结构化、网络化。 通过这种继续构建的知识结构图，最后组成了一张庞大的函数知识结构网，几乎呈现了高中数学的全部基础知识及其相互联系，这样在整个复习过程中相关基础知识得到了夯实。其次，带领学生熟悉考纲，明确考纲规定的基础知识、基本技能以及基本的数学思想方法，研究和把握高考命题趋势和题型，抓住重点知识，设置好例题和习题的类型、梯度和难度，注重解题方法及数学思想方法的提炼与概括，循序渐进地提高学生分析问题、解决问题的能力，同时注意锻炼学生的心理素质。

上述为笔者在高中函数教学过程中的整体教学思路方法及作法，不管是在高一高二的新授课阶段还是在高三的复习课阶段，在教学过程中笔者都始终注重函数知识体系的整体把握，注重函数知识间的联系，注重函数数学思想方法的渗透，不断完善和优化学生的认知结构，不断提高学生的数学素养。我们经常在想数学应该“教什么”，章见跃博士指出数学应当“教

结构良好的知识”、应当“既讲逻辑又讲思想”，所以我们在教学过程中应当注重知识的基本结构，注重知识的系统化、网络化及数学思想方法的纽带作用，这样才能更好地把握住知识体系的核心和关键，才可以从宏观上更好地理解学科知识，避免“只见树木不见森林”。笔者在教学中采用整体教学法进行函数的教学，从实践结果来看取得了较好的教学效果，当然这只是整体教学法在函数模块教学中的应用，其实高中数学的其他知识模块也可采用类似的方法进行教学。总之，教学是不断探索和创新的过程，作为一线教师我们应不断地求索。

[参考文献]

[1]王庚。数学文化与数学教育——数学文化报告集。 北京：科学出版社，2004。

[2]普通高中课程标准试验教科书[M]。北京：人民教育出版社。