一类利用从属关系定义的复数阶双单叶函数类的系数问题

都俊杰，邹发伟，秦川，冯建中

一类利用从属关系定义的复数阶双单叶函数类的系数问题

都俊杰1，邹发伟1，秦川1，冯建中2

(1.长江大学工程技术学院，湖北荆州434020;2.长江大学信息与数学学院，湖北荆州434000)

利用Salagean算子和从属关系定义一类复数阶双单叶函数类MΣ(n，b，β;h)，利用从属定理研究得到它的系数|a2|和|a3|的上界，并讨论一些应用广泛的函数类，扩展了一些已有结论，在证明方法上有了较大的变化.

解析函数;双单叶函数;从属;Salagean算子

本文用C表示复数集，N表示正整数集，N0表示非负整数集.记A表示单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内解析且具有如下展开式的函数族

对于f(z)∈A，G.S.Salagean［1］定义Salagean微分算子D如下:

容易验证

记S表示A中满足(1)式且单叶的子族.设f(z)和g(z)在U内解析，称f(z)从属于g(z)［2］，记作f(z)

众所周知，对任意具有(1)式形式的函数f(z)∈S均存在逆函数f－1，定义为

其中

函数f(z)∈A称为U内的双单叶函数当且仅当f(z)和f－1(w)均为U的单叶函数，现记Σ表示U具有(1)式形式的双单叶函数族［11］.文献［12－14］引入了双单叶函数族Σ中的α阶强星形函数类S*Σ(α)和α阶凸函数类KΣ(α)如下:

其中，0≤α＜1，g(w)=f－1(w).自从H.M.Srivastava等［11］研究了双单叶函数族的系数性质后，就有越来越多的学者开始关注并定义了众多双单叶函数子类，通过研究系数|a2|和|a3|的非精确上界估计(详见文献［15－22］)，其结果已运用于不动点理论、解析函数边值问题、逆函数等进行研究，详见文献［23－25］.

设h:U→C为满足下列条件的凸单叶函数假设h(z)具有下列展开式

f(z)∈Σ由(1)式给出，称f(z)∈MΣ(n，b，β;h)，若f(z)及其逆函数g(w)=f－1(w)满足从属关系:

其中，n∈N0，β∈(，b为任意非零复数.

1)取β=0，f(z)∈MΣ(n，b，0;h)满足

函数类MΣ(n，b，0;h)由熊良鹏等［26］引入并研究.

若β=0，f(z)∈MΣ(n，b，0，α)，则f(z)满足

函数类MΣ(n，b，0，α)由邓琴［27］引入并研究了它的系数估计.函数类MΣ(0，b，0，α)为复数阶双单叶解析星象函数，由Q.Deng［28］引入，并由D.Erhan［29］研究.

函数类MΣ(0，1，β，α)由H.Orhana等［30］引入.若β =0，MΣ(0，1，0，α)=(α)为α阶星象函数类，由X.F.Li等［31］定义并研究.

若β=0，MΣ(1，1，0，α)=CΣ(α)为α阶凸函数类，由D.A.Brannan等［32］定义并研究.

1 主要结论

为了得到结论，需要用到下面引理.

引理1.1［33］若p∈P，其中P表示U中的正实部解析函数族，则|pk|≤2，k=1，2，…，其中

引理1.2［34］设函数φ(z)为U内由下式定义的凸函数

设函数ψ(z)为U内由下式定义的全纯(或解析)函数

若ψ(z)<φ(z)，则有

定理1.3若由(1)式定义的函数f(z)∈MΣ(n，b，β;h)，则有:

证明由(2)式，存在2个正实部函数p(z)，q(z)

其中

通过比较(3)和(4)式两边z2和z3的系数得到

和

由(5)和(7)式容易得到

由(6)式加上(8)式得

由于p(z)，q(z)∈h(U)，利用引理1.2有

将(10)式运用于(9)式有

为了得到|a3|的系数估计，将(6)式减去(8)式得

再将(9)式代入(11)式得到

再次对系数p2和q2利用引理1.2得

2 推论

推论2.1［26］由(1)式定义的f(z)∈MΣ(n，b，0;h)，则有:

证明在定理1.3中令β=0即可得到结论.

推论2.2由(1)式定义的f(z)∈MΣ(n，b，β; A，B)，则有:

证明由于

在推论2.1中令B1=A－B即可得到结论.

推论2.3由(1)式定义的f(z)∈MΣ(n，b，β，α)，则有:

证明在推论2.2中令A=－1，B=1－2α，即可得到结论.

推论2.4［30］由(1)式定义的f(z)∈MΣ(0，1，β，α)，则有:

证明由于

且B1=A－B=2(1－α)，在定理1.3中n=0，b=1，B1=2(1－α)，即可得到结论.

推论2.5［28］由(1)式定义的f(z)∈MΣ(0，1，0，α)，则有:

证明在推论2.4中令β=0即可得到结论.

推论2.6由(1)式定义的f(z)∈MΣ(1，1，β，α)，则有:

证明由于

且B1=A－B=2(1－α)，在定理1.3中令n=1，b=1，B1=2(1－α)，即可得到结论.

推论2.7［32］由(1)式定义的f(z)∈MΣ(1，1，0，α)，则有:

证明在推论2.6中令β=0即可得到结论.

致谢长江大学科研发展基金(2013CJY01)和长江大学工程技术学院科技创新基金(15J0802)对本文给予了资助，谨致谢意.

［1］SALAGEAN G S.Subclasses of univalent functions［C］//Lect Notes Math，1013.New York:Springer－Verlag，1983:362－372.

［2］MILLER S S，MOCANU P T.Differential Subordinations［C］//Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics.New York:Marcel Dekker，2000.

［3］MILLER S S，MOCANU P T.Differential Subordinations，Theory and Applications［M］.New York:Marcel Dekker，2000.

［4］SRIVASTAVA H M，OWA S.Univalent Functions［M］.New York:John Wiley＆Sons，1989.

［5］SRIVASTAVA H M，OWA S.Current topics in Analytic Function Theory［M］.Singapore:World Scientific，1992.

［6］IBRAHIM R W，DARUS M.On subordination theorems for new classes of normalize analytic functions［J］.Appl Math Sci，2008，56:2785－2794.

［7］ALI R M，CHO N E，RAVICHANDRAN V，et al.Differential subordination for functions associated with the lemniscate of Bernoulli［J］.Taiwanese J Math，2012，16(3):1017－1026.

［8］SRIVASTAVA H M，BANSAL D.Coefficient estimates for a subclass of analytic and bi－univalent functions［J］.J Egyptian Math Soc，2015，23(2):242－246.

［9］SINGH S，GUPTA S，SINGH S.Differential subordination and superordination theorems for certain analytic functions［J］.General Mathe，2010，18(2):143－159.

［10］IBRAHIM R W，DARUS M，MOMANI S.Subordination and superordination for certain analytic functions containing fractional integral［J］.Survey in Math and Its Applications，2009，4:111－117.

［11］SRIVASTAVA H M，MISHRA A K，GOCHHAYAT P.Certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Appl Math Lett，2010，23(10):1188－1192.

［12］BRANNAN D A，TAHA T S.On some classes of bi－univalent functions［J］.J Math Anal Appl，1985，2:18－21.

［13］XU Q H，XIAO H G，SRIVASTAVA H M.A certain general subclass of analytic and bi－univalent functions and associated coefficient estimate problems［J］.Appl Math Comput，2012，218(23):11461－1465.

［14］ALI R M，LEE S K，RAVICHANDRAN V，et al.Coefficient estimates for bi－univalent Ma－Minda starlike and convex functions［J］.Appl Math Lett，2012，25(3):344－351.

［15］李小飞，秦川.一类利用从属关系定义的双单叶函数类［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(4):511－514.

［16］熊良鹏.双单叶星形和凸函数的系数边界［J］.西南师范大学学报(自然科学版)，2015，40(6):5－10.

［17］秦川，李小飞.一类利用复合算子函数定义的解析函数类的包含性质［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2015，38(3):376－380.

［18］DENIZ E，CAGLAR M，ORHAN H.Second Hankel determinant for bi－starlike and bi－convex functions of order β［J］.Appl Math Comput，2015，271:301－307.

［19］PENG Z G，HAN Q Q.On the coefficients of several classes of bi－univalent functions［J］.Acta Math Sci，2014，B34(1):228－240.

［20］AKIN G，EKER S S.Coefficient estimates for a certain class of analytic and bi－univalent functions defined by fractional derivative［J］.Comptes Rendus Math，2014，352(12):1005－1010.

［21］SRIVASTAVA H M，BULUT S，CAGLAR S，et al.Coefficient estimates for a general subclass of analytic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2013，27(5):831－842.

［22］SUN Y，JIANGA Y P，RASILA A.Coefficient estimates for certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，29(2):351－360.

［23］DZIOK J.Classes of multivalent analytic and meromorphic functions with two fixed points［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，2013(1):1－18.

［24］KUMAR S.A Short suvery of the development of fixed point theory［J］.Survey Math and Its Applications，2013，8:91－101.

［25］NARANG T D.A fixed point theorem for nonexpansive compact self－mapping［J］.Annales UMCS Mathematica，2014，68(1):43－47.

［26］熊良鹏，田琳，李小飞.基于Salagean算子的bi－单叶函数系数估计［J］.数学的实践与认识，2015，45(3):219－223.

［27］邓琴.具有复数阶的某类解析函数［J］.杭州电子科技大学学报，2010，30(3):88－90.

［28］DENG Q.Certain subclass of analytic functions with complex order［J］.Appl Math Comput，2009，208:359－362.

［29］ERHAN D.Certain subclasses of bi－univalent functions satisfying subordinate conditions［J］.J Classical Anal，2013，2(1):49－60.

［30］ORHANA H，MAGESHB N，BALAJIC V K.Initial coefficient bounds for a general class of bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，25(6):1259－1267.

［31］LI X F，WANG A P.Two new subclasses of bi－univalent functions［J］.Int Math Forum，2012，7:1495－1504.

［32］BRANNAN D A，TAHA T S.On some classes of of bi－univalent functions［J］.Studia Univ Babes－Bolyai Math，1986，31(2):70－77.

［33］POMMERENKAE C.Univalent Functions［M］.Gottingen:Vandenhoeck Ruprecht，1975.

［34］XU Q H，SRIVASTAVA H M，LI Z.A certain subclass of analytic and close－to－convex functions［J］.Appl Math Lett，2011，24 (3):396－401.

Coefficient Problem of a New Subclass of Bi-univalent Functions with Complex Order Defined by Subordinary

DU Junjie1，ZOU Fawei1，QIN Chuan1，FENG Jianzhong2
(1.College of Engineering and Technology，Yangtze University，Jingzhou 434020，Hubei; 2.School of Information and Mathematic，Yangtze University，Jingzhou 434000，Hubei)

In this paper，the authors introduce a new subclass MΣ(n，b，β;h)of bi-univalent functions with complex order defined by subordinary.The purpose is to obtain the estimates on the coefficients bounds|a2|and|a3|.At the same time，some families with wide application are also discussed.The results extend the recent works.There are few changes in the method of proof.

analytic functions;bi-univalent;subordinary;Salagean operater

O174.51

A

1001－8395(2016)03－0344－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.008

(编辑李德华)

2015－08－26

湖北省自然科学基金(2013CFAO053)和湖北省教育厅科研项目(B2013281)

都俊杰(1981—)，女，讲师，主要从事数理统计和泛函分析的研究，E－mail:dujunjie0420@163.com

2010 MSC:30C45