矩阵的秩在线性代数中的应用及其实践教学方法的探究

赵伟

摘 要： 伴随当今科学技术的持续发展，数学与经济学理论的联系越发紧密，特别是当今计算机技术的不断运用，促使线性代数于人们日常社会实践中所扮演的角色越发重要.为了对线性方程组进行研究，便随之产生了矩阵这一重要概念.矩阵的秩在整个线性代数中扮演着突出角色.本文通过分析矩阵的秩应用于线性代数，对此知识点相应教学方法予以探讨.

关键词： 线性代数 矩阵的秩 应用 教学方法

1.矩阵的秩等价描述

定义1：假设矩阵A中存在一个并非为0的r阶子式D，且全部r+1阶子式均等于0，则将D称为矩阵A相应最高阶非零子式，而数r则被称作矩阵A的秩，将其记为R（A）.且划定零矩阵的秩则等于0.从中可知，矩阵A的秩R（A）乃是A中一个并非为0的子式相应最高阶数.对于矩阵秩相应刻画而言，其具有较多方式，以下所设定的命题1乃是与矩阵秩相应等价描述存在相关性的一组结论.

命题1：假设A乃为m×n矩阵，则可得出如下结论为等价：

（1）R（A）=r；（2）A的行向量组的秩=r；（3）A的列向量组的秩=r；（4）A的行空间维数=r；（5）A的列空间维数=r；（6）n的元齐次线性方程组（AX=0）相应解空间维数=n-r.

2.矩阵的秩于求解线性方程组中的应用

如下定理1则将线性方程组解相应判定和矩阵秩相应关系给予了建立，将线性方程组解相应判定问题，向增广矩阵秩及系数矩阵计算方面予以转化，且就增广矩阵和系数矩阵的秩是否存在相等的问题进行判断，从而大大简化线性方程组解相应判定及求解.

定理……