①　形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立数

温建中

(阿坝师范学院数学与财经系，四川汶川623000)



①形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立数

温建中

(阿坝师范学院数学与财经系，四川汶川623000)

摘要：对于正整数n,设δ(n)是n的不同约数之和.对于给定的正整数a,如果不存在正整数b满足δ(a)=δ(b)=a+b,则称a是孤立数.由于相亲数和孤立数与完全数等著名数学难题有着直接的联系,所以它们一直是数论中引人关注的研究课题.利用素数个数的估计的相关结论证明了对于任意给定正整数r或者k,均存在无穷多个形如的孤立数,其中p1,p2,…,pk为相异的素数.

关键词：相亲数; 孤立数; 存在性.

0引言

对于正整数n,设δ(n)和π(n)是n的不同约数之和以及不超过n的素数的个数.如果正整数a和b满足

δ(a)=δ(b)=a+b

(1)

则称(a,b)是一对相亲数(amicable pair).相反,对于给定的a如果不存在适合(1)的正整数b,则称a是孤立数(anti-sociable number).近年来,人们对与各类孤立数的形式和存在性进行了大量的研究，[1-10]并得到了许多深刻的结果.在文献[11]中,作者提出了是否存在无穷多个相异素因数大于3的无平方因子的孤立数,对此文献[12]作者证明了存在无穷多个相异素因数等于任意给定正整数k的无平方因子的孤立数.

本文在文献[11-12]的基础上讨论了一类形如2rp1p2…pk(k≥2)的更广类型的孤立数.利用素数个数的估计的相关结论,我们证明了以下结论.

定理对于任意给定正整数r或者k均存在无穷多个形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立数,其中pi(i=1,2…k)为相异的素数.

1一些引理

(2)

证参见文献[13]的定理1.9.1.

引理2当素数p>24k,k≥2时,有

π(2p)-π(p)>k-1.

证由文献[15]可知：

所以当p>59时,

由此本引理得证.

引理3当n≥1015时,有δ(n)/n<2loglogn.

证根据文献[14]可知,当n……