4种TVD格式对调压室水击波的数值模拟

董　瑜，刘韩生，曹长冲

(1 西北农林科技大学 水利与建筑工程学院，陕西 杨凌 712100；2 中国长江电力股份有限公司,湖北 宜昌 443002)



4种TVD格式对调压室水击波的数值模拟

董瑜1，刘韩生1，曹长冲2

(1 西北农林科技大学 水利与建筑工程学院，陕西 杨凌 712100；2 中国长江电力股份有限公司,湖北 宜昌 443002)

[摘要]【目的】 分析比较4种不同构造形式TVD格式在捕捉水击波时耗散性和压制性数值性能的差异, 为带调压室水电站压力管道水击波过程模拟提供参考。【方法】 采用具有代表性的Harten TVD格式、Sweby TVD格式、TVD-MacCormark格式以及全离散TVD格式求解水击控制方程，结合给定的调压室系统水击模型边界条件，对某工程实例进行计算，并对数值模拟结果与试验数据进行分析。【结果】 TVD格式可模拟调压室系统水击波的变化过程，最大水击压力与试验数据相对误差不超过1%，且间断处能够有效地捕捉激波振荡；对比4种格式计算结果，在水击波上升和振荡过程中，Harten TVD格式的计算结果与实测数据吻合最好。【结论】 TVD格式计算精度较高，是模拟调压室水击现象行之有效的方法之一。

[关键词]调压室系统；水击波；数值模拟；TVD格式；数值通量

调压室是解决水电站水击问题的常用手段，准确模拟其调压过程十分重要。一直以来，特征线法[1]在水击计算中应用非常广泛，然而在遇到计算域内非常数或非均衡克朗数时，该法需要进行修正或不能保证守恒[2]。Harten于1983年提出并构造的TVD格式开创了双曲型方程高分辨率格式研究的新纪元，其能够准确地捕捉激波的位置，对间断具有高分辨率[3]，国内外学者在此研究的基础上构造了其他高精度无波动格式，并得到了广泛的应用[4-6]。近年来，TVD格式已经成功应用于空气动力学[7]和溃坝水力学[8]研究中，但在水击问题上的应用较少。黄逸军等[9]应用TVD格式计算调压室水击并与常规差分方法Lax Friedrichs格式和MacCormark格式进行比较，证实了TVD方法的优越性，但该研究仅使用一种格式计算，对其他TVD格式模拟水击波的差异并未进行研究。为了明确其他TVD格式模拟水击波的差异，本研究采用4种具有代表性的TVD格式对调压室系统水击压力进行数值模拟比较，以期揭示不同构造格式模拟水击波的差异，并为水击计算提供新方法。

1控制方程

考虑沿程水头损失及管道倾斜的影响，一维水击的控制方程组可以描述为：

(1)

(2)

式中：H为测压管水头，v为管道断面流速，c为水击波速，D为管道直径，θ为管道倾斜度，λ为沿程水头损失系数，t为时间，x为沿管道距离，g为重力加速度。

方程(1)、(2)守恒形式为[10]：

(3)

式中：U为守恒量向量，F为通量向量，S为非齐次向量。 向量U、F、S的表达式为，

(4)

(5)

(6)

2典型TVD格式

2.1修正通量TVD 格式

修正通量TVD格式即Harten TVD格式，是TVD格式中一种著名的高分辨率格式，得到了广泛的应用。为了提高格式的计算精度，将原来三点格式扩大为五点格式，对数值通量进行修正，在光滑处抵消一阶迎风格式产生的过大耗散。修正后的数值通量hi+1/2为[3]：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Q(x)为耗散函数，满足：

(13)

一般取0.05≤δ≤0.5，保证格式的正耗散。

2.2反扩散通量TVD格式

Sweby[11]在Harten[3]研究的基础上，采用附加反扩散通量构造所需的TVD格式。该格式具有一定的通用性，只要反扩散通量满足一定的条件即可构造多种形式的格式，是目前大多数TVD计算采用的构造方法，具有深远的影响力。Sweby TVD格式的数值通量可写成：

(14)

式中:ai+1/2为特征速度；φ(ri+1/2)为通量限制函数，本研究选用Superbee型，即：φ(ri+1/2)=max[0,min(2ri+1/2,1),min(ri+1/2,2)]，变量ri+1/2的表达式见式(12)。

2.3TVD-MacCormark格式

二阶精度MacCormark格式是一类较经典的差分格式，其采用MacCormark显式格式的时空混合型二步预估校正分裂格式，添加TVD格式人工黏性项，可捕捉很多重要的流场结构，在计算流体力学方面得到了广泛的应用[12]。近几年关于该格式研究颇多[6]，是一类典型的TVD方法。

TVD-MacCormark格式的预测步为：

(15)

TVD-MacCormark格式的校正步为：

(16)

(17)

(18)

(19)

函数G(ri)=0.5×C×[1-φ(ri)]，

(20)

式中：C为计算参数，Cr为库朗数。

2.4全离散TVD格式

本研究采用具有TVD性质的显式多步Runge-Kutta时间离散方法求解微分方程，空间离散采用TVD格式，国外学者仅Wahba[13]采用这种全离散TVD格式计算水击问题，因此研究该方法数值模拟水击问题具有代表性。其表达式为：

(21)

将TVD格式用于水击解耦的方程，其差分形式为：

(22)

3边界条件

3.1上游边界条件

管道的上游为阻抗式调压室，其水位随时间不断变化。调压室系统的基本方程为[14]：

(23)

(24)

式中：z为调压室水面相对于基准面(水库水面)的高度；L为上游引水隧洞的长度；g为重力加速度；t为时间；u为上游引水隧洞的水流流速；ζ为上游引水隧洞的水头损失系数；hf为阻抗孔处的水头损失；AT为上游引水隧洞的横断面积；AS为调压室的横断面积；Q为水轮机的引用流量。本研究采用四阶龙格库塔法对调压室系统基本方程进行求解。

3.2下游边界条件

管道的下游为一可调控的阀门，根据孔口出流规律，有：

(25)

式中：vn、Hn分别为管道阀门末端n时刻流速和水头；vm为阀门全开时管道中的流速；H0为阀门恒定流状态下管道末端水头；τn为n时刻阀门的相对开度，0<τn<1。

4工程算例

某水电站水库正常水位为512.5 m，调压室为阻抗式，压力引水隧洞长2 715.213 m，过水洞径6.0 m，调压室内径为14.0 m，阻抗孔口直径为2.94 m，底板高程为460.524 m。调压室后接压力埋管，内径为5.5 m，压力钢管主管长134.281 m，在进入主厂房约102 m处分为3条支管，支管内径为3.0 m。将3台机组全部同时甩负荷运行作为计算工况，机组引用流量由27.6 m3/s逐步减少到0。下游出口为阀门边界条件，设计提供的阀门关闭规律τ=1-1/(7t)[15]。

分别采用上述4种典型TVD格式对调压室系统水击进行数值模拟，并将计算结果与实测数据进行对比分析。图1所示为阀门逐渐关闭过程中，阀门末端压力水头随时间逐渐增大；阀门关闭后，管道内出现剧烈的激波振荡，阀门末端压力逐渐减小，振荡幅度变小，最后趋于稳定状态的过程。图1表明，在阀门关闭过程中，TVD格式对管道内水击波均具有较高的计算模拟精度，计算结果与实测数据吻合的较好。当t=7 s时，阀门末端水击压力最大， Harten TVD格式、Sweby TVD格式、TVD-MacCormark格式以及全离散TVD格式计算结果与实测数据相对误差分别为0.23%，0.18%，0.24%和0.51%；在激波振荡强烈的区域，TVD格式能够准确地捕捉间断处的激波。

图 1　4种TVD格式模拟计算的阀门末端断面水击压力水头线

从图1可以看出， 4种TVD格式对水击波的数值模拟结果差异较小，都具有计算精度高、激波捕捉能力强等优点。相比较而言，采用Harten TVD格式模拟效果最佳，计算全过程与实测数据吻合最好，激波振荡周期以及幅度计算误差甚小；Sweby TVD格式激波压制性较强，但在阀门压力上升阶段，其计算数值稍微偏大；TVD-MC格式计算结果出现微小数值振荡，耗散性较大；全离散TVD格式计算误差较大，且激波振荡幅度较实测结果偏大。

5结论

本研究将Harten TVD格式、Sweby TVD格式、TVD-Mac-Cormark格式以及全离散TVD格式等4种高精度TVD格式应用于水击方程组，并结合调压室的水力边界条件，数值模拟上游带调压室系统的水击波问题。结合工程实例，比较分析计算结果表明：TVD格式数值模拟水击问题具有计算精度高、激波捕捉能力强等优点；由于格式的数值通量构造方法的不同，在阀门逐渐关闭过程中，4种TVD格式捕捉水击波的耗散性和激波压制性数值性能存在一定差异，其中以Harten TVD格式的模拟效果最好。

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Numerical simulation of water hammer with four TVD schemes in surge chamber

DONG Yu1,LIU Han-sheng1,CAO Chang-chong2

(1CollegeofWaterResourcesandArchitecturalEngineering,NorthwestA&FUniviversity,Yangling,Shaanxi712100,China；2ChinaYangtzePowerCo,Ltd,Yichang,Hubei443002,China)

Abstract:【Objective】 Four TVD schemes with different construction methods were presented to analyze and compare the numerical performances of dissipative and compressible features when capturing the water hammer wave,aiming to provide reference for simulating water hammer process of surge pressure pipeline in hydropower station.【Method】 Four typical TVD schemes including the modified Harten’s TVD scheme,Sweby’s TVD scheme,TVD-MacCormark scheme and fully discrete TVD scheme were used to solve the water hammer equation numerically.Combined with the given surge chamber system water hammer model boundary conditions,a practical engineering problem was calculated and numerical simulation results were compared with experimental data.【Result】 TVD schemes can numerically simulate the water hammer process of surge pressure.In contrast with the experimental data,the relative error of the maximum water hammer pressure was less than 1%,and TVD scheme had the ability to capture the shock wave discontinuous.Comparison of calculation results showed that the modified Harten’s TVD scheme was the best for simulating water hammer because it agreed well with the experimental data in the process of water hammer wave rise and oscillation.【Conclusion】 TVD schemes have high calculation precision and are effective methods to simulate water hammer of surge chamber.

Key words:surge chamber;water hammer;numerical simulation;TVD scheme;numerical flux

DOI：网络出版时间:2016-03-1408:4510.13207/j.cnki.jnwafu.2016.04.030

[收稿日期]2014-07-11

[作者简介]董瑜(1989-)，女，安徽砀山人，在读硕士，主要从事计算流体数值模拟研究。E-mail:dongyuff@126.com[通信作者]刘韩生(1962-)，男，陕西韩城人，教授，博士，硕士生导师，主要从事高速水流研究。 E-mail:hanshengliu@126.com

[中图分类号]TV131.4

[文献标志码]A

[文章编号]1671-9387(2016)04-0225-05

网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1390.S.20160314.0845.060.html