数学课该教会学生什么

付秀珍

数学学习应该是建立在学生的认知水平和已有的知识经验的基础之上，不仅要面向全体学生，注重数学思想与方法的渗透，还要使学生有足够的时间和空间去经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动的过程。所以数学课应是引导学生做数学而非学数学。数学教师应该思考的问题是：在每一节数学课上，教师该教什么，怎么教；该培养学生什么能力，怎么培养；学生该做什么，怎么做。其实总结起来就是一点：数学课该通过什么活动培养学生的数学思想和方法。下面就将我的一点思考与体会与大家分享。

一、低年级重操作，在动手动脑中培养观察和比较能力

小学低年级学生都是以形象思维为主，要注重培养学生观察和比较的能力。这些能力的提升主要靠教师在课堂上有意和具体的指导并结合实践操作训练。如：“分类”一课就是对学生观察和比较能力的一种综合训练，可结合生活中的找不同游戏来进行，让学生一边动手分类一边看分得对不对。不对时再动脑想该怎么办。分对了，就和同桌说说自己分类的方法，然后再想想还有没有其他的方法了，这样就能使学生在游戏和娱乐中培养能力。

结合实物演示和动手操作引导学生理解计算算理、巩固计算方法是低年级最好的教学方式。只有学生真正明白了计算的算理才会正确运用，减少错误率。当我们在教学10以内各数的组成时，就充分利用摆小棒的方式让学生理解10以内数的各种组成方式，为后面学习计算奠定基础。在学习10以内数的加减法计算时，我们也可引导学生进行操作，让学生利用小棒来进行计算。当他们发现运用数的组成能更快地进行计算时，就说明他们已经能脱离实物进行动脑计算，实现了动手操作到动脑思考的顺利过渡。后面学习的20以内乃至100以内的加减法计算方法，都是在学生动手操作的基础上逐步总结出算理的。只有这样，学生才能算得更准确，因为他们的方法掌握得比较扎实，都是在做中得到的。

除了加减法计算注重运用动手操作来巩固算理外，乘除法计算方法的总结更离不开实物操作。如“有余数的除法”一课，只有当学生利用手中的学具完成把23平均分成4份，每份5个，还剩下3个的操作过程后，才能正确地书写除法竖式并理解竖式除法的每一步算理，实现了动手操作、动脑思考、动笔计算与动口说理四位一体的数学学习过程，同时也为后面理解学习除数是两位数的除法奠定基础。

二、中年级重猜测与验证，在验证中培养想象能力

小学中年级是由形象思维向抽象思维过渡的阶段，也是学生计算、估算、猜测等能力培养和发展的最好阶段。平面图形的面积、周长的计算公式都是在学生大胆猜测它们和什么有关，并积极进行实践验证的基础上得到的。如：长方形面积公式的推导过程，就是当学生明确了面积的含义后，进行大胆猜测，看看长方形的面积大小和什么有关系。当然，学生的猜测很多：有的会说跟长有关，有的会说和宽有关，有的会说和长与宽都有关系，还有的会说和周长有关。总之，学生会把他们能想到的都说出来。而教师面对学生各种各样的猜测，不要急于评价和结论，要引导学生动脑想办法去试验一下自己的猜测是否正确。当学生运用数格子的方法得出了长方形的面积时，通过比较，不难发现长方形的面积不仅和长有关，还和宽有关。原来用长所占的格子数乘宽所占的格子数就是长方形面积一共所占的格子数。这样一来，学生在猜想与验证的过程中对于长方形的面积公式的理解和运用就更能得心应手了。

还有整数加法与乘法运算定律的推广使用等都可以使学生初步感受到猜测、举例和验证这一系列的数学学习方法的实效性和重要性。当学生熟练掌握了各种运算定律并能灵活进行简便计算后，教师又会相继教授小数和分数的计算。在学习小数和分数的混合运算时，教师就要有意识地引导学生进行观察和分析算式的特点，让他们大胆猜测整数加法和乘法的运算定律适用于小数和分数吗？怎样举例验证呢？可以把学生分成几个大组，每个组来验证一个定律是否可以推广。这样每组的人数都很多，举的例子也都不一样，组长一汇总，就更有说服力了。当学生经过大胆猜测并亲自验证，最后得出结论并运用于简便计算时，他们会更有学习的信心和动力，以后遇到问题也可能会先想到运用猜测、举例和验证的方法来解决。

三、高年级重思维，多用迁移和转化的方法解决问题

小学高年级是学生抽象思维逐步形成的阶段，也是学生的迁移类推能力逐步提高的过程。学生在推导平面图形的面积公式和立体图形的体积公式时，教师要有意识地引导学生运用转化的数学思想来解决问题，如通过剪或拼的方法可以把平行四边形、三角形、梯形、圆形转化成长方形，然后再找到它们之间面积的关系，进而得出所需面积公式。在学生通过猜测和验证的方法得出长方体的体积公式后，结合正方体和长方体的关系进行类推，就可以总结出正方体的体积公式。再把圆柱体进行恰当地切分和拼组，转化成长方体，进而推导出圆柱体的体积公式。再结合圆锥与圆柱的关系，进而推导出圆锥的体积公式。这一系列公式的推导过程，就是要向学生渗透转化的数学学习方法。

引导小学高年级学生用画线段图和图示的方法帮助理解题意并解决问题是很有效的，也是学生必须掌握的一种数学能力。尤其是对解答分数、百分数和比的应用题，还有行程与工程问题都十分有效，教师要指导学生用最简捷的图示把题意和问题全都描绘出来，形象地展示数量关系，使解题思路一目了然。

另外，迁移和类推的能力在高年级的课堂上也要经常得到锻炼。如当学生通过观察和比较得出了比、除法、分数之间的关系后，很容易根据分数的基本性质和除法商不变的规律类推出比的基本性质，并通过举例得到验证。长此以往，学生不仅学到了有效的数学学习方法，还会增强学习数学的信心和动力。

小学高年级也是学生求异思维得到快速发展的阶段，教师要有意识地引导学生不断地进行多角度考虑问题，力求让学生发散思维、开启心智、提高解决问题的能力。一题多解是对学生求异思维的一个很好的锻炼，教师要不断向学生提问，当学生形成习惯后思维自然就开启了。有经验的教师还会把题目进行变式，再让学生分析解答，能有效避免学生思维定势的反作用，还能使学生体会数学语言的精密和认真学习态度的重要。如：当学生根据百分率的含义理解出勤率的含义并会用公式来表示时，教师就可以继续询问：“如果知道出勤率和出勤人数怎样求班级总人数呢？”这样一来，学生就可以根据一个公式来推导其他公式了。学完比例尺的公式也一样，求图上距离和实际距离的公式也就自然而然地得到了。再如：当学生解答了“一桶油20千克，先吃了它的四分之一，又吃了它的五分之一，一共吃了多少千克”后，把问题变换一下让学生继续解答。可以变成“还剩多少没吃”或者“哪天吃的多，多多少”等问题，让学生在掌握了基本的解决问题的方法后，学会应对变化，学会灵活解题。

虽然对每个学段学生的数学思维和能力培养的侧重点各有不同，但是它们之间是承接的关系。如果没有低年级的观察、比较与动手能力的培养，何来中年级的猜测和验证能力的锻炼，更不会有高年级的迁移和类推能力的发展。所以当发现学生学习数学的能力差时，其实就是他在某一阶段的数学思维没有被开启，基础能力没有被培养。应该让学生在玩中学会观察世界，学会比较差异，学会动手模仿和创造性地摆放物品，以使学生的动手、动口能力得到锻炼。只有多方面的数学思想的启发和培养，才会有真正的数学学习。

（作者单位：嘉荫县第一小学）