分数阶Laplace方程组的山路解

李　青,　魏公明

(上海理工大学 理学院,上海　200093)



分数阶Laplace方程组的山路解

李青,魏公明

(上海理工大学 理学院,上海200093)

摘要：对一类非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题非平凡解以及正解的存在性分别进行了研究.针对非线性分数阶Laplace方程组在满足Dirichlet边值条件下所具有的特征,通过定义能量空间,然后在该空间中利用Sobolev嵌入定理、控制收敛定理、Brezis-Leb引理,证明分数阶方程组的能量泛函满足Palais-Smale紧性条件,最后利用分数阶Sobolev空间中的山路引理,得出方程组存在非平凡临界点,也即得出这类非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题存在非平凡解的结论.此外,还利用Nehari流形、极小能量法,通过比较能量法得出一类耦合的非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题存在正解需要满足的条件,进而得出这类分数阶Laplace方程组存在正解的结论.

关键词：分数阶Laplace算子; 山路引理; Palais-Smale条件; 极小能量解

1问题的提出

运用山路引理[1-4]来证明非平凡解的存在性,是一种很经典的变分方法.本文主要受文献[5]及文献[6]的启发.文献[5]主要针对满足齐次Dirichlet 边值条件的非局部微分方程Lku+f(x,u)=0(x∈Ω)进行了研究.其中

是一个非局部算子.Ω是n中具有Lipschitz边界的有界开集,→(0,+∞)是满足下列性质的函数:

a.γK∈L1(n),其中

其中,s∈(0,1),

本文通过验证该方程能量泛函是否满足Palais-Smale条件,再应用山路引理得出其存在非平凡解.将这种方法运用到如下分数阶Laplace方程组中,即

(1)

不论是在纯理论领域,还是实际生活中,这种分数阶椭圆型算子都有着广泛的应用.它出现在很多不同的背景之下,比如……