拓扑一致降标与性质(gω)

戴　磊

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南 714099)



拓扑一致降标与性质(gω)

戴磊

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南 714099)

摘要：Banach空间算子T满足性质(gω)当且仅当T在它的所有孤立的特征值处有n≥d的拓扑一致降标且T*在T的上半B-Weyl谱的补集上具有单值扩张性质。另外，利用所得结论证明了代数paranormal算子和初等算子满足性质(gω)。

关键词：性质(gω)；拓扑一致降标；代数paranormal算子；初等算子

0　引言

对线性算子谱理论的研究一直是算子理论中一个重要课题和热门分支，Weyl型定理是谱理论中一个比较活跃的研究方向，而性质(gω)是Weyl型定理变化性质之一。近年来关于性质(gω)的研究有许多，例如文献[1-2]利用单值扩张性质分别研究了算子及其摄动的性质(gω)；文献[3]研究了性质(gω)与Weyl型定理之间的关系；文献[4]利用变化的本性逼近点谱研究了算子的性质(gω)；文献[5]利用一致Fredholm指标性质研究了算子的性质(gω)。本文主要利用拓扑一致降标给出了Banach空间中有界线性算子T满足性质(gω)的一个等价刻画，然后将所得结果应用到了初等算子和代数paranormal算子上。

1　预备知识

本文中，X表示无限维复Banach空间，B(X)表示X上的有界线性算子代数。称算子T∈B(X)为一个上半Fredholm算子，若R(T)闭且n(T)=dim(N(T))<；若d(T)=dim(X/R(T))<, 则称T为一个下半Fredholm算子。算子T∈B(X)称为Fredholm算子，若n(T)和d(T)都有限。算子T的指标ind(T)定义为ind(T)=n(T)-d(T)。指标为0的Fredholm算子称为Weyl算子；指标小于等于0的上半Fredholm算子称为上半Weyl算子；指标大于等于0的下半Fredholm算子称为下半Weyl算子。算子T的升标asc(T)为满足 N(Tn)=N(Tn+1)的最小的非负整数，若这样的整数不存在，则记asc(T)=；而算子T的降标des(T)为满足R(Tn)=R(Tn+1)的最小的非负整数，同样，当这样的整数不存在时，记des(T)=。如果T的升标和降标均有限，则它们一定相等[6]，此时称T为 Drazin 可逆的。记T的Weyl 谱、本性逼近点谱、Drazin 谱分别定义如下：

σw(T)={λ∈C:T-λ不为Weyl普及算子}；

σea(T)={λ∈C:T-λ不为上半Weyl算子}；

σD(T)={λ∈C:T-λ不为Drazin可逆}。

称T在λ0处有单值扩张性质，如果任给λ0的开邻域U(λ0)，f为U(λ0)→X上的解析函数且满足(T-λI)f(λ)=0(λ∈U(λ0))，则恒有f≡0。如果T在任意点λ∈C都有单值扩张性质，则称T有单值扩张性质。显然，若intσp(T)=∅，则T有单值扩张性质，于是T在任意λ∈isoσ(T)或λ∈Cσa(T)处都有单值扩张性质。

2　主要结论

定义1[7]设T∈B(X)，如果存在d∈N，使得对任意的n≥d，都有R(T)+N(Tn)=R(T)+N(Td)，则称T有n≥d的一致降标；……