自主学习数学，培养创新思维能力

梁颖嫦

摘 要 笔者任职于中职学校，学校兼具社区教育学院功能，在读业余大专、本科、远程教育学生逾三千人，笔者以其在业余高等教育数学学科中的教学经验，分析了开放教育中自主学习数学的特征，提出了与应用型人才相适应的数学创新思维能力的培养目标及培养途径。

关键词 开放教育 自主学习 数学创新思维 数学模型

中图分类号：G642.0 文献标识码：A

开放教育的培养目标是使学生成为优秀的高等应用型人才，而实现这一目标的关键是培养学生的创新能力。数学是理工类和经济类专业的重要基础课，理所当然要在教学上服从上述目标。然而实际情况不容乐观，不少学生学习数学只是为了通过统考，因为他们觉得除此之外数学别无他用。尽管他们考前突击 “类型加解法”，但考试合格率却偏低。有些学生虽然通过了考试，但是考完就丢，创新思维未能得到应有的发展。为了使数学教学真正纳入人才培养目标，数学教师不仅要使学生通过统考，更要引导他们在自主学习数学的过程中逐步学会用数学，提高数学创新思维能力。

1开放性自主学习数学

开放教育的培养对象面向全社会，学生业余学习，故其基本学习方法是自主学习，即自主确定学习目标，制定学习计划，选择学习策略，自评学习效果。但自主学习决非放任自流的盲目自学。（1）由于学生的学习基础不同，思维水平不同，学习环境不同，因而学习策略和效果有很大差异，使自主学习个性化，呈现开放性；（2）数学的特点是高度抽象和概括，因而学习数学需要抽象思维和逻辑推断。然而数学成果的发现并非一开始就建立在严格的逻辑论证上，而是伴随着个性化的直觉、想象和猜测，这些非逻辑思维也是学习数学必不可少的。以上两点给自主学习数学造成一定困难，因而必须为之提供服务，其形式主要有：集体授课（课堂教学、网上教学、实习、实践、实验），小组学习（学生相互交流、专题讨论），个别辅导（为困难生及时解疑，为优生设置课外专题）。服务目标是既促使自主学习有序进行又充分利用其个性化特征培养学生的创新思维能力。

2应用型数学创新思维

所谓数学创新思维是指思维的数学结果或者处理问题的数学方法有新颖性，独特性。应用型数学创新思维是指与应用型人才相适应的数学创新思维。我们当然不能脱离实际地要求他们在数学理论上有重大突破，但他们必须具备灵活运用所学知识设计出独特新颖的方法创造性地解决实际问题的能力。因此应当使学生达到以下目标：

（1）科学、系统、全面地掌握所学的数学知识与数学方法，这是数学创新思维的前提。

（2）善于用数学的观点积极敏锐地观察周围的事物，搜集考证相关资料，深入分析各种事物间的数量关系及其空间形式；

（3）能够从纷繁复杂的数量关系中概括出反映实际问题本质的数学规律，并用适当的数学工具将研究对象转换成数学模型；

（4）能够运用直觉、想象、猜测、类比、归纳、抽象等思维活动寻求尽可能简洁，独特新颖的方法求解模型；

（5）既能从理论上论证研究结论，又能设计出科学、合理、可行的实验方案检验研究结论；

（6）能够用科学、准确、简洁的数学语言表达、报告、交流所获成果。

3在自主学习中培养数学创新思维能力

3.1基于教材合理延伸

由于自主学习具有开放性，学生选择的辅助材料和学习策略不同，可能会或多或少偏离主教材，这种偏离有时是合理延伸，有时则是误入歧途，因而需要正确引导。首先必须使学生掌握主教材中的基本理论与方法，在这个基础上才可以分三个层次向外延伸。

（1）点延伸：基于知识点向外延伸，例如学习一个新概念，主教材的定义虽然精炼但却过于抽象，因而教师要善于创设思维情境，使学生有机会面对要解决的问题，经过分析、抽象，概括出新概念，从而体会新概念产生的背景及必要条件。其次要善于引导学生自主归纳新概念的性质，探寻与新概念等价的其他形式。此外还要善于引导学生运用新概念解决问题，从而准确把握新概念的内涵与外延。例如在线性代数中有一个重要概念：矩阵的秩，主教材的定义是：“经过初等变换化矩阵为阶梯形后非零行的个数就是矩阵的秩”。起初多数学生只能孤立、机械地死记定义，而教师则可精心选择几个典型线性方程组要求学生求解并探讨如下问题：经初等变换所得阶梯形矩阵中非零行的个数r与通解中自由未知数个数k以及未知数总数n之间有何联系？当学生经过分析、抽象最终得到答案r+k=n时便可领悟“秩”引入的背景。此时教师可因势利导要求学生继续探讨下列问题：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩有何区别与联系？二者对方程组是否有解或者有多少解有何影响？寻求问题答案就是运用秩的概念导出相容性定理的过程。

（2）面延伸：基于某方面专题向外延伸，鼓励学生探究创新，完成优质研讨报告。研讨专题应具有以下特征：

①适应性：符合学生实际水平，遵循教学大纲但不拘泥于教学大纲；

②开放性：学生从不同角度选择不同资料进行研究，所获结果不同；

③阶段性：研讨专题涉及的知识面不应太宽，以某一阶段学习的章节内容为宜；

④有机性：研讨专题应当是相关基础知识的有机载体，而不是为了综合而“综合”地将众多知识点杂乱无章地堆积在一起。

例如在学习概率论时，教师可提出研讨专题“离散型随机变量与连续型随机变量的比较”，学生可从不同角度进行研讨，比如两个不同概念间的区别与联系，内涵与外延，性质及应用等等。通过研讨学生不但能融会贯通主教材的知识系统，还可借助参考资料拓宽视野。

（3）体延伸：学生结合自身工作实践自主确立研究课题，制定研究计划，查找相关资料，选择研究途径，论证研究结果，交流研究体会。这一过程从不同层面、不同角度对主教材的知识体系进行立体式延伸，是培养创新思维的最高境界。其最大特征是学生独立自主控制整个研究过程，综合运用多学科知识分析和解决问题。

例如，某学员尝试解决企业能耗（单位产品消耗的能量）过高的问题，他的研究计划大致是：首先采集大量相关数据，通过数据处理筛选出影响能耗的主要因素，如各生产环节消耗的煤、电、运输部门消耗的汽油，不同供应商提供的能源的质量，能源在运输、存储过程中的损耗等等，并区分基于不同因素的数据变量是可控的还是随机的，然后运用函数插值、曲线拟合、线性或非线性回归等数学方法分析能耗与诸变量间的数量关系，进而建立目标函数，考察限制诸变量的约束条件，最后运用拉格朗日数乘法或其他数学方法求目标函数在约束条件下取极小值时的最优解。虽然这项研究尚未结束，但是他的解决实际问题的能力已经得到前所未有的提高。

3.2小组学习标新立异

小组学习是开放性自主学习的基本形式之一，为学生通过交互学习培养创新思维能力提供了一个活动舞台。应鼓励学生积极参与小组讨论，轮换“教师”与“学生”两个角色，营造民主、和谐、愉悦的学习氛围，使得人人畅所欲言，不盲从书本，不迷信教师，善于发现问题，敢于标新立异。例如某学习小组曾讨论下面的试题：

设A，B是两个随机事件且P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（B|A）=0.2求P（A|B）。

多数学生给出如下解答：由全概率公式及乘法公式得：

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=P（AB）+0.40.2，

由此得到P（AB）=0.8 0.08=0.72，

从而有P（A|B）====0.9。

求解过程似乎正确无误。但是小组学习养成一些人喜欢“挑刺”，他们总觉得有点不对劲，最终还是被他们挑出了毛病：计算结果显示P（AB）>P（A），这是不可能的！那么是什么原因导致这一矛盾呢？经过小组讨论发现，P（A），P（B），P（B|A）三者并非完全相互独立，其中任何一个的取值范围必受另外二者的制约。事实上如果P（A）=0.6，P（B）=0.8，则P（B|A）>0.5，因而原题设条件不妥。

通过形式多样的小组研讨，学生相互沟通信息，取长补短，异中求真，真中取优，对培养创新能力有不可替代的作用。

3.3现代技术激发创新

随着远程开放教育的不断发展，基于电子计算机和网络的教学模式被广泛应用于教学领域，为培养学生的创新思维能力提供了强大的物质支持。

（1）运用现代媒体传形、传声、传色，集视听于一体的强大功能创设具有实践背景的问题情境，使人感到鲜活逼真、新颖亲切，情不自禁身临其境。例如，在学习欧拉图时，首先展示动画图景：有一条河从哥尼斯堡穿城而过，城中的七座桥连接河中两个岛与河两岸，并动画演示当地居民曾热衷的一个游戏：从任何一块陆地或小岛出发，经过每座桥一次且仅一次，最后回到出发点。然后问学生：你能实现这个游戏吗？试一试！不用说，学生会立即被眼前的游戏深深吸引，全神贯注地“试”起来，极大地激发了学习图论的兴趣。

（2）由于实际问题涉及的数量关系纷繁复杂，对任何一个猜测进行验证都需要较大的计算工作量，因而传统教学模式下学生能面对的大多是数量关系简单的理想化问题，这就制约了学生创新思维的发展。运用现代媒体处理数据及图形的强大功能，学生可以研究自己感兴趣的实际问题，充分发挥想象力，大胆猜测问题的答案，验证猜测是否可靠，反复修正，不断逼近问题真解。前面提到的“能耗”课题的研究就是这样进行的，这正是创新思维的发展过程。

（3）传统的集体授课很难为不同层次的学生提供均等的发言机会，发言时间受到限制，也不容易让所有学生记住每位发言者的见解。而网络授课则突破了时间与空间的限制，克服了上述弊端，使不同层次的学生均能获得所需的资料和帮助且不会受到网络的“歧视”，从而充分调动了他们的思维积极性，激发了创新热情。

3.4循序渐进学以致用

（1）通过解题培养学生用数学的意识。多数学生经过自主学习均能独立解答简单数学题。对比较复杂的题，首先引导他们观察题设条件，善于挖掘隐含条件，明确题目的结论。其次引导他们运用基本概念、定理、法则、公式分析各条件及结论间的数量关系，确立解题步骤，最终化条件为结论。当然仅仅解出题目还远远不够，要着力培养他们善于“一题多解”与“一题多变”，探究独特新颖的解题方法，从不同角度进行推广，如延伸结论拓广其适用范围，或者改变条件并观察结论的相应变化，自编几道更贴近生产实践的题目等等。

（2）引导学生从数学被广泛应用于其他学科，例如金融学、会计学、统计学、电子电路基础等等，以及不同数学分支间的相互渗透，例如运用微积分研究连续型随机变量等事实中领悟数学的巨大作用和运用数学解决问题的策略与技巧。

（3）培养学生用数学的观点观察周围的事物，使他们意识到不是数学没有用，而是身边处处有数学，只不过自己未曾留心怎样去用而已。例如彩票抽奖，一定是先抽更有利吗？玩扑克时同样几张牌有多种不同组合，是“三带二”好还是“成双成队”胜算更大？居民小区的活动中心选址是否合理？产品的价格越高获取的总利润就一定越大吗？如果你爱好音乐，那么你是否知道十二个基本音律（半音阶）的频率由低到高构成一个怎样的数列？当你随着优美的乐曲翩（下转第129页）（上接第101页）翩起舞时，你一定希望和舞伴保持相同的“周期”，使那婀娜舞姿仿佛一束正弦函数曲线此起彼伏令人赏心悦目。诸如此类的例子尽量由学生自行提供。

（4）培养学生建立数学模型的能力。由于实际问题涉及的可控变量大多归结为各类方程（代数方程、三角方程、微分方程、差分方程等等）的求解，而随机变量则大多归结为确定其分布函数；有的实际问题归结为求目标函数在约束条件下取极值时的最优解或者图论中的某种特殊图等等。因而要有针对性地引导学生多做有关类型的应用题，使他们熟悉这些已经建立的数学模型，并初步掌握运用现成模型解决实际问题的方法。

其次，要引导学生多体验建立数学模型的思想方法与具体步骤。例如前面提到的哥尼斯堡七桥问题就是一个极佳的典型例子。首先引导学生经过分析发现，问题的关键不在于陆地的形状、大小，桥的长短，而是陆地与桥的连接方式。因而可将陆地“浓缩”成点，将桥“挤压”成线，实际问题便被抽象成图（A）：

并用数学语言陈述如下：

图（A）中是否存在一条回路，它经过图中各边一次且仅一次？

为了加深学生对上述建模过程的体验，我们不妨动画显示一个 “八桥问题”的情境，也让学生将其抽象成图（B）：

并引导学生分析：为什么图（B）可以“一笔画出”，而图（A）却不能？由此开始探寻模型的解法。

当然我们的最终目标是解决实际问题，要鼓励学生多用数学模型方法解决身边的实际问题，从解决简单问题逐步过渡到解决复杂问题。例如前面提到的“能耗”课题，仅仅考察单数据变量的变化规律时只需建立相对简单的数学模型，而课题的最终解决则是由多个子模型融为一体，形成一个复杂的最优化模型。

参考文献

[1] 王仲春，李元中，顾莉蕾，孙名符.数学思维与数学方法论[M].北京：高等教育出版社，1989：126-138.

[2] 王宪昌.数学方法论研究的新发展——评《数学思维与数学方法论》[J].数学教育学报，2002（2）.