一个三角函数无穷乘积表达式的应用

沈志军

(1.咸阳宝石钢管钢绳有限公司， 陕西 咸阳 712000； 2.全国不等式研究会， 浙江 海宁 314400)



一个三角函数无穷乘积表达式的应用

沈志军1,2

(1.咸阳宝石钢管钢绳有限公司， 陕西 咸阳 712000； 2.全国不等式研究会， 浙江 海宁 314400)

在已知无穷乘积知识的基础上，证明了一个关于三角函数的无穷级数定理.根据定理，推广了一些无穷乘积和无穷级数的著名结论.

无穷乘积；三角函数；无穷级数

本文将利用无穷乘积的知识给出一个有关三角函数的结论，并根据该结论对一些经典结果进行了推广.为了便于讨论，先给出相关引理和定理.

证明设

根据引理1和文献[1]可知f(z)满足引理条件，又f(z)的一阶零点为±(2n-a)π或者±(2n-2+a)π，其中a∈[-1,0)∪(0,1]，n∈N+.

根据引理1、引理2可知：

即

(1)

证明根据Taylor公式改写式(1)

(2)

根据文献[2-3]，比较式(1)和式(2)中z2的系数可得

(3)

证毕.

定理1、定理2非常有趣，可以得到很多特殊无穷乘积、无穷级数的和.

1　定理1的应用

等式右侧满足引理2的收敛性判定，即此处为严格证明(下文各例类似).例1的结果称为Euler公式，据此可见定理1其实是Euler公式的推广.

证明改写式(1)有

则

由L’Hospital法则

又

例2的结果也称为Euler公式.历史上，Euler根据该公式解决了不少复杂而困难的问题.此外，笔者注意到和Euler相关的公式及定理数量过千，如果均以Euler公式(或定理)命名，则不明确，是否可采用类似“Euler关于正弦函数的无穷乘积公式”的方法命名.笔者提出此问题，请各位先生批评指正.

证明由初等数学可知：

则

即

此外，最重要的是传统授课方式留给专业科研训练的空间十分狭窄，科研实践形式单一，与专业课程教学不能很好地衔接，使得学生科研意识淡薄，主动性及参与性不够。如此培养出来的学生处理科研问题缺乏灵活性，对医学科研缺乏热情和敏感性，势必导致医学人才质量下降，医学水平停顿不前。

(4)

特别是a=0时，

(5)

解对定理1两边取对数同时对z求导数：

整理：

(6)

(7)

这是正切函数的著名展开式.

解根据Euler关于三角函数和双曲函数的公式，

sin ix=isinh x，cos ix=cosh x，其中i2=-1.

即

(8)

特别令z→0可得

即

这是前述定理2.

根据倍元公式：sinh 2z=2sinh zcosh z，cosh 2z=2sinh2z+1.

2　定理2的应用

解在定理2中，对等式两边同时求导并化简:

(9)

此外，式(9)还可以给出一些其他结果.

例11的结果比较有趣，如果根据高等数学初次容易断定结果为非0，但此处可以直接“读出”结果，当然利用高等数学会计算得到同样结果. 对式(9)继续求导，还可以给出类似结果.

证明定理2中等式满足逐项求导条件，则等式两边求导可得

因sin x不为零，则

为便于叙述，约定

定理3可改写为x∈D，f1(x)cos x=g1(x)sin x.

又可得如下结论x∈D，m∈N+：

(10)

其中f1(m)(x)表示f1(x)的m阶导数，为便于叙述，再约定f1(m)(x)=f1(m)，下同.

(11)

而由(10)、(11)可得

f1(m)=-2g1(m-1).

(12)

设

可见定理3与Riemann定义的zeta 函数有关联,而且是zeta 函数中自变量取值不同时的联系，因此给出如下定理.

定理4若x∈D，m∈N+，则

证明由乘积函数高阶求导的Leibniz公式对定理3两边同时取m阶导数可得

即

结合式(12)整理可得定理4.

下边给出几个有趣的特例.

解当m=1，根据定理3可得

f1(2)sin x+3f1(1)cos x-2f1(0)sin x=0，

(13)

将例10和定理3的结果代入可得

设

(14)

式(14)的结果包含了无理数，笔者据此并结合定理2倾向于认为著名假设ζ(2m+1)=Cmπ2m+1,Cm∈Q

不成立，猜测Cm包含了无理数. 尽管在1978年，法国数学家Apery.R.证明了ζ(3)不是有理数，但仍然未说明Cm∈Q成立.笔者这样认为：历史上，“化圆为方”、“第一类永动机”分别是数学和物理上的著名问题.学者在经历长期失败后，从反面立论解决了问题.正是受到此类实例的启发，笔者认为如果上述著名假设不成立或许能打开新局面.

以及本文定理4，笔者猜想这是素数分布的情况差异很大(有序中无序、无序中有序)，即文献[7]中谈及素数分布规律奇异的真正原因.限于笔者的认识远远不足，文中定有诸多不当之处，请各位学者专家指正.

致谢：本文得到浙江工商大学朱灵教授的指导，在此特别感谢.

[1] 王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论[M].北京:北京大学出版社,2006:21-30.

[2]POLYAG.数学与猜想—数学中的归纳和类比(第一卷)[M].李心灿,等译.北京:科学出版社, 2008:17-35.

[3] 威廉·邓纳姆.天才引导的历程[M].北京:中国对外翻译出版社,2001:172-181.

[5] 潘承洞,潘承彪.初等数论[M].2版.北京:北京大学出版社,1992:386,413.

[6] 胡中传.无穷乘积表示的一类新函数[D].三峡大学,2007:2.

[7] 里本伯姆P.博大精深的素数[M].孙淑玲,冯克勤,译.北京:科学出版社,2007:134-139.

Some Applications of the Infinite Product’s Expression with Trigonometric Function

SHEN Zhi-jun1,2

(1. Xianyang BOMCO Steel Tube & Wire Rope Co Ltd, Xianyang, Shaanxi, 712000, P.R.China; 2. Chinese Society of Inequalities and Applications, Haining, Zhejiang, 314400, P.R.China)

On the basis of the known knowledge of infinite product, an infinite product’s theorem with trigonometric function is proved. According to the theorem, some well-known conclusions regarding infinite product and trigonometric function are extended.

infinite product; trigonometric function; infinite series

2015-08-01

沈志军,男，陕西勉县人，咸阳宝石钢管钢绳有限公司质量检测部工程师.

O173

A

2095-3798(2016)05-0049-07