基于MPCK视角下的概念解读*——以凸多边形内角和为例

☉福建省厦门第一中学　王淼生

基于MPCK视角下的概念解读*——以凸多边形内角和为例

☉福建省厦门第一中学王淼生

一、MPCK理论

舒尔曼1986年提出PCK理论后，立即引起各国学者关注，从而使数学教师特有的学科教学知识从PCK泛学科的研究中独立出来，形成MPCK（数学教学内容知识）理论.MPCK理论要求教师不仅要有丰富、厚实的学科知识，更要有扎实、灵活的教学法知识，实现“冰冷、枯燥”的数学学术知识转化为“火热、生动”的教学（教育）知识，这是MPCK理论核心所在.概念教学历来是数学教学的重心与难点，尤其是跨越中小学多年段的数学概念更要引起高度重视.本文基于MPCK视角下的三角形内角和概念教学的点滴体会，敬请批评指正.

二、教材与解读

吃透教科书，领悟主编意图是MPCK理论视角下概念教学的具体体现.

文1在第38页“角的度量”一节中，通过射线给出了角的概念及直角、平角与周角等特殊角，同时介绍了测量角的工具——量角器.小学教科书主编这样精心设计的目的就是为了在文2第59页“三角形”一节中借助量角器来量出三角形三个内角的和等于180度（注：此时开始引入角度符号）.同时把三角形三个内角剪下来拼在一起发现是一个平角.依据小学生的认知水平，以及年龄、心理特点，文1与文2侧重于小学生动手操作、直观感知等感性认识.考虑到小学生的实际情况，故而将理性认识（逻辑论证）留给后续教学（初中教学即文3与文4）来进一步处理.为了体现小学与初中的衔接，更是为了提醒一线教师有效实施小学与初中的过渡，初中教科书主编特意在文3第七章“三角形”的章引言指出：在小学我们通过测量得知三角形三个内角的和等于180度（形成与小学呼应）.但三角形有无数多个，要说明任意一个三角形内角和都等于180度，不可能对所有三角形都进行测量，必须论证.章引言同时还指出三角形是最简单的平面图形，也是认识许多其他图形（凸多边形）的基础.借助三角形内角和等于180度，探究多边形内角和.不仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思想方法.鉴于初中生的认识水平、知识结构等，初中阶段应该逐步学会并顺利完成由说理到基本推理转变，即逻辑论证、度量计算，因为严谨是数学的生命所在.这正是初中教科书主编在文4中特意安排一章“几何的回顾”的原因.其中第一节“几何问题的处理方法”的目的就是为了说明有些几何命题可以通过观察、实验得到，但也有些命题仅仅通过实验、观察是不够的，还需要给予严谨的证明，让学生体会到逻辑论证的必要性与可行性.从小学到初中的过渡，教科书主编用心良苦，衔接十分到位又丝毫没有越位，全力作为而没有乱作为.文2在第67页通过实验发现“三角形三个内角的和等于180度”后，文2接着在第68页继续探究得到四边形内角和等于360度，意犹未尽，但又考虑到小学生的承受能力，怎么办？主编在第68页最下方提出一个问题：你能想办法求出六边形的内角和吗？为了彻底巩固，更为了与初中无缝对接，小学教科书主编在文2第69页的练习十六中特意设置了第4题：画一画，算一算，你发现了什么？原题如下：

可以说小学教科书主编有意开始渗透类比思想方法，通过上述这个练习，将小学阶段的多边形内角和“作为”到恰到好处，正所谓“增之一分太长，减之一分太短.”正如波利亚所言：“类比是一个了不起的向导”，“类比是一个伟大的引路人”.紧接着初中教科书主编在小学基础上对多边形进行分割，文3第81～82页采取预留空白的形式进一步探究五边形、六边形、…、凸n边形内角和，限于初中生的知识水平，但又渗透类比与归纳等数学思想方法得出凸n边形内角和为（n-2）×180度.这就为高中深入研究并借助数学归纳法给予严谨证明留下伏笔.并在第82页右边的思考中提出“把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？”这样给师生又留下无限思考空间！作为呼应，初中教科书主编在文4第89页利用边空的形式再一次列出四边形、五边形、六边形、…、n边形的分法.至此，初中阶段就圆满完成既定的教学目标，高中将在初中基础上，针对凸n边形中的“n”属于n≥3，且n∈N，即有关正整数命题，这样与正整数相关的命题证明方法即高中数学归纳法呼之欲出，这正是主编在高中教科书即文6第二章“推理与证明”中安排第三节“数学归纳法”的原因所在.此外小学教科书主编在文2第61页指出“三角形具有稳定性”，这为高中立体几何即文7第42页展现公理2（过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面）提供了实际案例.

上述通过对小学、初中及高中教科书的回顾与解读，不难看出从小学到初中再到高中可谓步步到位，承上启下，循环上升，无缝对接.

三、回顾与创新

MPCK理论不是一成不变，而是在特定概念教学中不断完善并创新.

1.三角形内角和

求任意凸多边形内角和，不仅对小学生，其实对于初中生来说也是较为困难，怎么办？我们可以先探究最简单的凸多边形，即三角形，正如著名的数学家华罗庚说：“要善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的诀窍.”那如何求三角形内角和呢？让我们顺着教科书主编的意图一起来回顾吧.

（1）小学测量观察法.

方法1：借助量角器直接测量三个内角的度数，并相加得到三个内角的和等于180度.

方法2：在纸上划出一个三角形，把三角形的三个内角剪下来，然后拼在一起，通过观察发现正好是一个平角，于是得到三角形内角和等于180度.

上述方法1与方法2正是小学生得到三角形内角和等于180度的思维方法与实施过程，其本质就是通过实验与观察，但数学是严谨的，对于数学结论必须给予严格证明，这为初中继续探究与论证指明了方向.

（2）初中初步论证法.

方法3：过点B作直线DE∥AC，则∠DBE为平角180度，如图1所示，利用平行线基本性质可得∠A=∠DBA（两条直线平行，内错角相等），∠C=∠CBE（两条直线平行，内错角相等）⇒∠A+∠B+∠C=∠DBA+∠ABC+∠CBE=180度.

方法4：在边AC上任取一点D（不含端点），则∠ADC为平角180度.过点D作DE∥AB，DF∥BC，分别交BC、AB于E、F，如图2所示，利用平行线基本性质可得∠A=∠EDC（两条直线平行，同位角相等），∠C=∠ADF（两条直线平行，同位角相等），∠B=∠EDF⇒∠A+∠B+∠C=∠EDC+∠EDF+∠ADF=180度.

图1

图2

方法5：延长AC至点D，则∠ACD为平角180度.过点C作CE∥AB，如图3所示，利用平行线基本性质可得∠ECD=∠A（两条直线平行，同位角相等），∠BCE=∠B（两条直线平行，内错角相等）⇒∠A+∠B+∠C=∠ECD+∠BCE+∠BCA=180度.

方法6：在三角形ABC内任取一点D（不含边界），过D分别作AB、BC、CA的平行线，分别相交于E、F；G、H；M、N，如图4所示，利用平行线基本性质可得∠A=∠EFG=∠EDN（两条直线平行，同位角相等），∠B=∠NED=∠FDG（两条直线平行，同位角相等），∠C=∠FGD=∠GDN（两条直线平行，同位角相等，内错角相等）⇒∠A+∠B+∠C=∠EDN+∠NDG+∠GDF=180度.

图3

图4

2.三角形外角和

以上分析就事论事，都是从内角去考查，能否换一个角度呢？既然有内角，当然就会有对应的外角，那凸多边形的外角和为多少呢？我们依然退回到最原始、最基本的三角形，那三角形的外角和等于多少呢？

陈省身教授在北京大学的一次学术讲学中语惊四座：“人们常说，三角形内角和是180度，这是不对的！”大家愕然！怎么回事？三角形内角和等于180度，这不是数学常识吗？接着这位老教授对大家的疑问作了精辟解答：“说三角形内角和等于180度不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方式不对，应当说三角形的外角和等于360度.”“倘若把眼睛盯住内角，我们只能看到：三角形的内角和等于180度；四边形的内角和等于360度；五边形的内角和等于540度；…；n边形的内角和（n-2）×180度.这就找到了一个内角和公式.公式里出现了边数n.如果看外角呢？三角形的外角和等于360度；四边形的外角和等于360度；五边形的外角和等于360度；…；任意n边形的外角和等于360度.这就是把多种情形用一个十分简单的简论概括起来.用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律.”

这个故事让我们想起了数学家波莱尔的一段话：“数学家的目的往往是寻求一般的解，他喜欢用几个一般的公式来解决许多特殊的问题.”因此，数学教学不是罗列更多的现象，也不是追求更妙的技巧，而是从更普遍的、更一般的角度寻求规律和答案.

方法7：三角形是一个静止的图形，我们从运动的观点，将静止转化为运动.让一个人沿着三角形周围走一圈，会发现这个人正好转了一圈，如图5所示，即三角形的外角和等于360度，而每一个平角都是180度，因此三角形的内角和等于3×180度-360度= 180度.

3.凸多边形内角和

上述方法7就是从运动与静止的相对关系来构造模型.同理可得，对于四边形也可以这样让一个人沿着四边形周围走一圈，会发现这个人也正好转了一圈，即四边形的外角和等于360度.事实上，让人沿着凸n边形周围走一圈，最后还是转了一圈回到原处，这就说明凸n边形的外角和是一个定值，恒为360度.

事实上，我们还可以由以下方法得到凸n边形的外角和恒为360度，如图6所示.

图5

图6

有了这一新的发现，我们可以得到以下证法：

证法1：对于凸n边形，我们将凸n边形的每一条边都向同一个时针方向延长（射线），如图6中的第一个图，此时发现有n个平角，但是要减去所有的外角，故n边形的内角和等于n×180度-360度=（n-2）×180度.

对于上述得到的凸n边形的内角和等于（n-2）×180度，还可以有其他方法吗？我们观察（n-2）×180度相当于n-2个三角形的内角和，为此得到下面的证法：

证法2：对于凸n（n≥3，n∈N）边形A1A2A3…An，任取其中一个顶点，不妨取A1，将A1分别与A3、A4、…、An-1连接，这样的连线将凸n边形分割成n-2个三角形，如图7所示，故凸n边形的内角和为（n-2）×180度.

图7

图8

图9

倘若我们展开将得到（n-2）×180度=n×180度-360度①.此处n×180度表示什么呢？360度又意味着什么呢？n×180度表示n个三角形的内角和，360度表示一个周角，那么上述①式表示n个三角形的内角和减去一个周角.弄清它们的含义就可以得到以下精彩的解答.

证法3：对于凸n（n≥3，n∈N）边形A1A2A3…An，在其内部（不含边界）任取一点O，连接OA1、OA2、OA3、…、OAn，如图8所示，此时这样的连线将凸n边形分割成n个三角形，故其内角和为n×180度.同时应该减去顶角，即∠A1OA2+∠A2OA3+…+∠An-1OAn+∠AnOA1=360度.

故凸n边形的内角和为n×180度-360度.

让我们再一次审视上述凸n边形的内角和公式，并再一次适当变形为（n-2）×180度=（n-1）×180度-180度②

式②的右边表示什么意思呢？有什么含义呢？其实（n-1）×180度相当于n-1个三角形的内角和，减去180度就是减去一个平角，据此我们还可以得到以下证明.

证法4：对于凸n（n≥3，n∈N）边形A1A2A3…An，在其中一边（不妨在边A1An）上任取一点O（不含端点），连接OA2、OA3、…、OAn-1，如图9所示，此时这样的连线将凸n边形分割成n-1个三角形，即△A1OA2，△A2OA3，…，△An-1OAn故其内角和为（n-1）×180度，但同时应该减去一个平角即∠A1OAn，所以∠A1OA2+∠A2OA3+…+∠An-1OAn=180度.故凸n边形的内角和为（n-1）×180度-180度.

4.高中构思方法

上述都是从分割的角度来思考的，能否从有限与无限的辩证关系来寻求问题的解决呢？

证法5：三角形的内角和等于180度，四边形的内角和呢？五边形呢？凸n边形呢？对于四边形，我们只要连接其中一条对角线，此时四边形分成两个三角形，故四边形的内角和等于2×180度=360度③.

仿照上述方法可以将五边形分成三个三角形，此时五边形的内角和等于3×180度=540度④.

那凸n边形呢？上述③、④两式还可以这样来看：

对于四边形内角和：360度=2×180度=（4-2）×180度；

对于五边形内角和：540度=3×180度=（5-2）×180度；

由类比与归纳可得凸n边形内角和为（n-2）×180度.

上述分析是从特殊到一般的归纳方法，是一种不完全归纳法，当然不完全归纳法不一定正确，比如文5第101页～102页的“课题学习”材料中得到以下结论：三角形面积是它的中点三角形面积的4倍；四边形面积是它的中点四边形面积的2倍.然而对于五边形、六边形呢？事实上，五边形、六边形的面积与它的中点五边形、六边形的面积并没有固定的倍数关系，由此说明类比与归纳不一定正确，正如波利亚指出：“合情推理是危险的、有争议的和暂时的.”因此上述归纳得到的结论需要给予证明，这正是以后高中将要学习的数学归纳法.不妨设an=（n-2）×180度，以下用数学归纳法给予严格证明：

证法6：（1）当n=3时，显然成立；

（2）假设n=k（k≥3，k∈N）时命题成立，即ak=（k-2）× 180度，则当n=k+1时，我们将边A1Ak“撕裂”成两边，即边A1Ak+1与AkAk+1，这就相当于在原k边形基础上增加了一个三角形A1AkAk+1，如图10所示，即有ak+1=ak+180ak=（k-2）× 180+180=［（k+1）-2］×180度，故n=k+1时命题成立.

再由以上（1）、（2）可知，该命题对所有大于3的正整数均成立.

图10

数学归纳法是证明与正整数相关的命题的一种有效的方法，数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞越，这正是数学归纳法的神奇与伟大.通过数学归纳法，让小学生、初中生克服了“无限”的瓶颈，只有跨越了“无限”，才能真正认识“无限”，实现从无限到有限的转化.其实数学归纳法既是一种演绎推理，又是一种归纳推理，因此，数学归纳法的实质是数学归纳——演绎法，将从小学到初中的学生一直憋在心中的疑团解开，而且为了将来在大学进一步学习第二数学归纳法、跳跃归纳法、倒退归纳法等留下伏笔，这正是交接而不脱节、到位而不越位的具体践行.

四、心得与感悟

仔细研读小学、初中、高中及大学教科书，深深敬佩这些主编们的精心设计与内容安排，像上述这样的案例还有很多，比如圆，小学在文8中通过对圆的认识学会作圆，以及求圆的周长和面积公式，接着初中在文4中从侧重于图形的角度研究了圆、直线与圆及圆与圆之间的位置关系，即定性研究，而高中则在文7中借助平面直角坐标系，即用代数坐标来表示几何点进行精确地定量研究，这样实现从数到形、从定性到定量，充分体现了解析几何的核心思想：用代数方法来定量研究几何问题，这就为大学继续深造空间解析几何打下了坚实的基础.

MPCK理论要求数学教师在审视概念时，要以全面、发展、系统的眼光.从小学、初中、高中乃至大学的数学教育是一个由感性到理性、由实践到理论、从具体到抽象、从特殊到一般、从说理到论证的过程，是一个循序渐进的螺旋上升的自然过程.有人说小学、初中、高中及高等数学就像一盘棋，数学教师就是这盘棋的对弈者，理应全盘考虑、全局考量、全权考究，才能下一盘精彩的对局，笔者更深切地感受到更像是4×100米接力赛，每一棒队员各就各位、各司其职.前一棒不仅要奋勇争先，还要为后一棒精心交接好，同时又要确保在规定的区域内完成交接棒.这就要求一线教师弄懂教材，吃透主编意图，掌握课标要求，清晰小学、初中、高中的教材从何处开始，在何处收尾，小学与初中的交接点在哪儿，初中与高中的衔接点又是什么，交接棒的区域是什么，只有这样才能真正做到概念教学交接而不脱节、到位而不越位，唯有这样才能演绎出数学概念教学魅力课堂.

1.课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学·四年级·上册）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

2.课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学·四年级·下册）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

3.课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书（数学·七年级·下册）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

4.课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书（数学·九年级·下册）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

5.王建磐.义务教育课程标准实验教科书（数学·初中三年级·下册）教师用书［M］.上海：华东师范大学出版社，2008.

6.课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（数学·选修2-2）［M］.北京：人民教育出版社，2015.

7.课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（数学·必修2）［M］.北京：人民教育出版社，2008.

8.课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书（数学·六年级·上册）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

9.孙凯.回到概念：基于对称，理解分类——以“圆的分类讨论问题”习题课为例［J］.中学数学（下），2016（5）.

*本文系全国教育科学“十二五”规划2015年度单位资助教育部规划课题《基于数学教学内容知识（MPCK）视角下的概念教学案例研究》（课题批准号：FHB150464）的研究成果.