集值映射的单值广义模糊积分

2016-12-02 05:49马朝晖吴健荣
关键词:单值集值测度

马朝晖,吴健荣

(苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009)

集值映射的单值广义模糊积分

马朝晖,吴健荣*

(苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009)

借助于广义三角模给出了集值可测映射一种新的模糊积分的定义,它是单值可测函数的模糊积分的推广。在给出该积分的一些基本性质的基础上,得到了该积分的一个重要收敛定理。

可测集值映射;模糊测度;广义三角模;模糊积分

1 预备知识

对集值积分的系统研究可以追溯到20世纪60年代。1965年,Aumann[1]以可测集值函数的单值Lebesgue可积选择定义了Rn空间中集值函数的积分,并讨论了该积分的一些基本性质。伴随着模糊测度和模糊积分[2]的发展,1990年,王子孝,张德利[3]针对一些特殊的模糊测度,如λ-测度,讨论了集值模糊积分。此后,文献[4-5]采用Aumman积分的定义方式,分别将集值函数的取值限制在[0,1]和R+的幂集上,利用单值可测选择的模糊积分定义了集值函数的模糊积分,自然,这些积分的取值均为集合。

关于集值映射单值模糊积分的研究也取得了一定进展。2001年,文献[6]将集值函数的取值限制在[0,1]的幂集上,类似Sugeno积分给出了集值映射模糊积分的定义,并研究了该积分的一些基本性质及Fatou引理和Lebesgue收敛定理。2012年,Croitoru在文献[7]中给出了取值为实线性空间幂集的集值函数的单值模糊积分定义,证明了该积分的单调收敛定理和一致收敛定理。2014年,文献[8]则研究了取值为R+的子集的集值映射及其模糊积分。

笔者通过引入了广义三角模,给出了集值映射单值广义模糊积分的定义,并研究该积分的一些基本性质。引进的概念和所得到的结论是已有相应概念和结论的推广。

文中,Ω总表示一非空集合,∑为Ω上的一个σ-代数,从而(Ω,∑)为可测空间。R+=[0,∞),P0(R+)表示R+的全体非空子集。对于集值映射F:Ω→P0(R+),记

定义1[2]若集函数μ:∑→[0,+∞]满足以下条件:

(1)μ(Φ)=0;

(2)A,B∈∑且A⊂B则μ(A)≤μ(B)(单调性);

(3)A1⊃A2⊃…⊃An⊃…,An∈∑,∀n∈N,并且存在n0∈N,使得μ(An0)<+∞,则;

(4)A1⊂A2⊂…⊂An⊂…,An∈∑,∀n∈N,则;

则称μ为模糊测度,相应的(Ω,∑,μ)称为模糊测度空间。其中(3)、(4)分别称为上、下连续性。

定义2[2]称集函数μ:∑→[0,+∞]

(1)是次可加的,若∀A,B∈∑,有μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B);

(2)是零可加的(零可减的),若∀A,B∈∑,μ(B)=0,有μ(A∪B)=μ(A)(μ(A-B)=μ(A))。

定义3[9]记D=[0,+∞]2/{(0,+∞),(+∞,0)},映射S:D→[0,+∞]称为是广义三角模,若其满足条件:

(1)S[x,0]=0,∀x∈[0,+∞),且存在e∈(0,+∞],使得S[x,e]=x,∀x∈(0,+∞],这里e称为单位元;

(2)S[x,y]=S[y,x];

(3)当x1≤x2,y1≤y2时S[x1,y1]≤S[y2,x2];

(4)若{(xn,yn)}⊂D,(x,y)∈D且xn↑x,yn↓y则S[xn,yn]→S[x,y]。

注1S[x,y]=min(x,y),S[x,y]=kxy(k>0)均为广义三角模,其中S[x,y]=min(x,y)的单位元为∞,S[x,y]= kxy的单位元为1/k。

定义4[10]称广义三角模S是次可加的,若∀x,y∈[0,+∞],有

定义5[9]设(Ω,∑,μ)为模糊测度空间,S是广义三角模,f是非负可测函数,则f在A上的广义模糊积分为

其中Nα(f)={ω|f(ω)>α}。

定义6[11]称集值映射F:Ω→P0(R+)可测,若F-1(U)∈∑,(∀闭集U⊆R+)。

定义7[8]设(Ω,∑,μ)为模糊测度空间,集值映射F:Ω→P0(R+)是可测的,A∈∑,则F在A上关于μ的积分定义为

方便起见,以下记F-1([α,+∞))=Fα,∀α∈[0,+∞)。

2 主要研究

首先,利用广义三角模,给出集值映射一种新的模糊积分定义。

定义8设(Ω,∑,μ)为模糊测度空间,F:Ω→P0(R+)是可测的集值映射,A∈∑,F在A上的单值广义模糊积分(简称为(G)积分)定义为

注2若F为单值函数时,可看出该定义是定义5单值可测函数模糊积分的推广;若S[x,y]=min(x,y),则该积分定义即为定义7。

下面讨论该积分的若干性质,首先从定义8可以直接得到以下结论:

定理1设(Ω,∑,μ)为模糊测度空间,F:Ω→P0(R+)是可测的集值映射,A∈∑。

(3)若F(ω)={a},∀ω∈Ω,a∈(0,+∞),则(G)。

(5)F1,F2:Ω→P0(R+)是可测的集值映射,且∀ω∈Ω,F1(ω)⊂F2(ω),则。

(7)设μ,S次可加,F,G:Ω→P0(R+)是可测集值映射,则。

定理2设(Ω,∑,μ)为模糊测度空间,F:Ω→P0(R+)是可测集值映射,B∈∑,μ(B)=0。

证明(1)由μ的单调性及μ(B)=0可得μ(B∩Fα)=0。又μ是零可加的,则

(2)的证明类似。

定理3设(Ω,∑,μ)为模糊测度空间,μ是零可加的当且仅当对于可测集值映射F,G:Ω→P0(R+),F=G μ-a.e蕴含。

证明必要性:设μ是零可加的,F,G:Ω→P0(R+)是可测的集值映射且F=G μ-a.e。令A={ω∈Ω|F(ω)≠G(ω)},则有μ(A)=0。由μ的单调性,对任意α∈[0,+∞),有μ(Fα)≤μ(Gα∪A)。再由μ是零可加的及μ(A)=0,可知μ(Gα)=μ(Gα∪A),所以μ(Fα)≤μ(Gα)。类似可得μ(Gα)≤μ(Fα)。

所以对任意α∈[0,+∞),有μ(Fα)=μ(Gα),进而由定义8可得。

充分性:设A,B∈∑,μ(B)=0,要证μ(A∪B)=μ(A),下面分两种情况讨论:

(1)当μ(A)=+∞时,由μ的单调性可得μ(A∪B)=+∞=μ(A)。

(2)当μ(A)<+∞时,定义可测集值映射F,G:Ω→P0(R+)如下:∀ω∈Ω,

其中e是S的单位元。则{ω∈Ω|F(ω)≠G(ω)}=B-A,由μ的单调性可得

所以μ(A)=μ(A∪B),即μ是零可加的。

推论1若μ零可加,F=G在A上μ-a.e(∀A∈∑),则。

证明充分性:由于对任意α∈[0,+∞)有S[α,μ(Fα)]≤β,所以。另外,由于

(1)若αnk↑∞,则μ(Fαnk

与β∈(0,+∞)矛盾。

(2)若αnk↓0,则由μ(Ω)<+∞知

与β∈(0,+∞)矛盾。

(3)若αnk单调收敛于α0∈(0,+∞),则单调收敛于,由广义三角模的性质有

即存在α0∈(0,+∞),使得S[αn0,μ(Fα0)]=β。证毕。

最后,给出文中定义的积分的一个重要收敛定理。

定理5设(Ω,∑,μ)为模糊测度空间,Fn:Ω→P0(R+)是可测集值映射列,且Fn(ω)⊂Fn+1(ω)(∀ω∈Ω,n∈N),定义

证明由文献[11]中的命题3.4知,F是可测集值映射。不失一般性,设A=Ω(对∀A∈∑,类似可证)。因为Fn(ω)⊂Fn+1(ω)⊂F(ω)(∀ω∈Ω,n∈N),所以由其积分性质有

性知

(3)当I=+∞时,则有αk使得S[αk,μ(Fαk)]>k(k=1,2,…),类似(2)的证明知存在nk,使得当n≥nk时S[αnk,μ((Fn)αnk)]>k,所以

[1]AUMANN J.Integrals of set-valued functions[J].J Math Anal Appl,1965,12:1-12.

[2]SUGENO M.Theory of fuzzy integrals and its applications[D].Tokyo:TokyoInstitute of Technology,1974.

[3]王子孝,张德利.集值函数的模糊积分[C]//中国模糊数学与模糊系统学会第五届年会论文集.成都:西南交通大学出版社,1990:102-105.

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[5]ZHANG D,GUO C.Generalized fuzzy integrals of set-valued functions[J].Fuzzy Sets and Systems,1995,76(3):365-373.

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[9]WU C X,WANG S L,SONG S J.Generalized triangle norms and generalized fuzzy integrals[C]//Proc of Sino-Japan Sympo on Fuzzy Sets and Systems.Beijing:International Academic Press,1990.

[10]夏阳,吴健荣.一般可测函数的(G)模糊积分[J].模糊系统与数学,2011,25(1):96-102.

[11]CASTAING C,VALADIER M.Convex Analysis and Measurable Multifunctions[M].Berlin Heidelberg,New York:Springer,1977.

Single-valued generalized fuzzy integrals of set-valued mappings

MA Zhaohui,WU Jianrong
(School of Mathematics and Physics,SUST,Suzhou 215009,China)

By using the generalized triangle norm,we introduced a new concept of a fuzzy integral of a measurable set-valued mapping,which generalized the fuzzy integral of a measurable single-valued function.After presenting some basic properties of this integral,we obtained an important convergence theorem of it.

measurable set-valued mappings;fuzzy measure;generalized triangle norm;fuzzy integral

O159MR(2000)Subject Classification:28B20

A

1672-0687(2016)04-0023-05

责任编辑:谢金春

2014-10-28

国家自然科学基金资助项目(11371013)

马朝晖(1990-),女,河南周口人,硕士研究生,研究方向:非线性分析。

*通信联系人:吴健荣(1963-),男,教授,博士,硕士生导师,E-mail:jrwu@mail.usts.edu.cn。

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