下部脱胶界面圆夹杂的弹性动力学反平面分析

齐辉，高春,，周亚东,，潘向南，蔡立明

(1. 哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001；2. 哈尔滨学院 土木工程系，黑龙江 哈尔滨，150086；3. 济宁市建筑设计研究院，山东 济宁，272000)

下部脱胶界面圆夹杂的弹性动力学反平面分析

齐辉1，高春1,2，周亚东1,3，潘向南1，蔡立明1

(1. 哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001；2. 哈尔滨学院 土木工程系，黑龙江 哈尔滨，150086；3. 济宁市建筑设计研究院，山东 济宁，272000)

针对下部脱胶的界面圆柱夹杂对SH波的散射问题进行稳态研究。按照“分割”和“契合”思想，采用复变函数法、Green函数法与多极坐标法相结合实现边值问题的求解。首先，分别求解沿双相介质交界面剖分的上、下半空间的Green函数；其次，在界面上附加未知力系，将上、下半空间契合在一起，按交界面上的位移和应力的连续条件构造定解积分方程组；再次，采用直接离散法求解积分方程组，反推得到位移和应力场的表达式；最后，按应力场的表达式求得界面夹杂边沿的动应力集中因子。数值研究2个界面脱胶夹杂之间的相互作用，给出夹杂边沿动应力集中因子的分布情况。研究结果表明，界面脱胶夹杂之间的相互影响十分显著。

SH波散射；Green函数；界面夹杂；脱胶；动应力集中

弹性波的散射问题一直备受科学家和工程师的关注，随着在无损检测、能源勘探、地震工程等领域的广泛应用，关于弹性波散射的研究也越来越多。早期，对弹性波散射的研究主要集中在全空间中单个简单异质体，例如圆柱空洞或夹杂、椭圆柱孔洞或夹杂、球形孔洞或夹杂等[1]。作为最简单的弹性波的形式，SH波的传播和散射问题得到了更系统和全面的研究。刘殿魁等[2]创建了SH波二维散射的复变函数论方法，将弹性静力学的保角变换推广到弹性动力学，从形式上解决了全空间中任意形状柱体的反平面散射问题。考虑界面的反平面散射问题较全空间更复杂，TRIFUNAC等[3−4]按照波函数展开法和镜像法研究了半空间中的散射问题；袁晓铭等[5]研究了半空间中圆柱形的凹陷、夹杂和凸起对SH波的稳态散射；杨在林等[6−7]研究了半空间中椭圆形孔洞、夹杂和裂纹对稳态波的反平面散射。界面夹杂对SH波的散射问题是一类更为复杂的弹性动力学界面问题，刘殿魁等[8]运用Green函数方法，研究了界面圆柱形孔洞和夹杂的反平面稳态散射；汪越胜等[9]用积分方程的方法讨论了局部脱胶情况下的散射问题；齐辉等[10−17]按照“契合”思想结合Green函数和积分方程的方法系统地研究了稳态SH波的弹性动力学界面问题。本文作者按“分割”与“契合”的思想，通过Green函数法、复变函数法与多极坐标法相结合的方法，研究全空间中含下部脱胶界面夹杂对平面SH波的稳态响应，给出圆柱夹杂边沿的动应力集中因子的分布情况。

1　模型的描述

采用“分割”的思想，将全空间模型分割成上、下2个半空间模型，上半空间为含半圆柱形凸起的半空间，下半空间为含半圆形凹陷的半空间。全空间模型如图1所示。图中：介质I为下半空间；介质Ⅱ为上半空间；介质Ⅲ为界面圆柱夹杂；1μ，2μ和3μ分别为3种介质的剪切弹性模量；1ρ，2ρ和3ρ分别为3种介质的质量密度；Oj为圆柱夹杂的圆心；dj为第j个半圆形凹陷的圆心坐标；Rj为半径，坐标系XjOjYj是以Oj为原点建立的局部坐标系，坐标系XOY是以某个局部坐标系为基准建立的全局坐标系；0α为稳态SH平面波的入射角；S，C为边界。

图1　全空间模型Fig. 1 Whole space model

2　Green函数的构造

2.1上半空间的Green函数

图2　格林函数的上半空间模型Fig. 2 Upper half space model of green function

图3　界面圆形夹杂模型Fig. 3 Interfacial circular inclusion model

半空间作用线源荷载δ(z−z0)时，入射波W(i)可以表示为

满足上半空间界面上应力自由的散射波()sG的表达式为

其中：zj=z−dj；W0为位移幅值，一般取1.0；k为半圆形凹陷的数量。在区域Ⅱ内G2可以表示为

2.2下半空间的Green函数

下半空间的模型如图4所示。

按同样的方法构造下半空间的Green函数，

图4　Green函数的下半空间模型Fig. 4 Lower half space model of Green function

3　稳态SH波的入射

稳态SH波的全空间模型如图5所示，稳态SH波以α0角入射，产生的入射波、反射波、折射波和散射波构成了介质中的总波场。入射波W(i)的表达式为：

其中：k1=ω/c1为入射波数；ω为圆频率；为入射波的相速度；e−iωt为时间谐和因子。

反射波W(r)和折射波W(f)分别按(20)和(21)式定义：

其中：α4为折射角；为介质Ⅱ的剪切波速；k2=ω/c2为介质Ⅱ的波数。

按Y=0界面处的位移和应力的连续条件，得到折射角α4、反射波的位移幅值W2和折射波的位移幅值W4的关系为

图5　稳态SH波的全空间模型Fig. 5 Whole space model of steady state SH wave

4　定解积分方程组

“契合”模型如图6所示，利用交界面S上位移和应力的连续条件，在交界面S上附加未知力系f1和f2，按求得的Green函数构造求解未知力系f1和f2的定解积分方程组：

图6　“契合”模型Fig. 6 Conjunction model

式中：0,π=θ。

5　算例和结果分析

取界面圆柱夹杂Oj数k=2，给出了夹杂Oj边沿的动应力集中因子的分布状况。按坐标系(或)下的应力场来计算。这里，假定两界面圆柱夹杂的半径相等，且为1.0，即R=R1=R2=1.0。

图7　界面夹杂周围的分布(=1.0,=1.0,α0=90°,=1.0,k1R=0.1)Fig. 7 Distribution ofaround interfacial inclusion

图9所示为SH波以α0=45°入射时，且入射波数k1R=0.1，界面2个圆夹杂的距离参数分别取xl/ R=0.5，1.0，3.0，剪切模量比与波数比不变的情况下，上半空间介质Ⅱ与下半空间介质Ⅰ的波数比对左端界面夹杂动应力集中系数的影响。由图9可见：在θ=90°，270°时，左端界面夹杂动应力集中系数出现了突增的现象；随着上半空间介质Ⅱ与下半空间介质Ⅰ的波数比的增大，这种突增现象从θ为90°和270°逐渐转变到θ为135°和315°，增大到一定程度的时候趋于稳定；在一定的条件下，随着xl/ R的增大，左端界面圆形夹杂周围的反而呈减小的趋势。

图8　界面夹杂周围的分布(=1.0,=1.0,α=90°,=1.0) 0Fig. 8 Distribution ofaround interfacial inclusion

图9　界面夹杂周围的分布Fig. 9 Distribution ofaround interfacial inclusion

6　结论

1) 右端界面圆柱夹杂的存在使左端界面圆柱夹杂边沿的动应力集中因子有增大的趋势。

2) 动应力集中因子的最大值点均发生在脱胶界面上。

3) 右端夹杂对动应力集中系数的影响随着距离的增大而逐渐消失。

4) 随着介质波数比的增大，即当介质Ⅱ相对较“硬”时，动应力集中因子呈现递增的趋势，随着入射波数的增大，动应力集中因子呈现减小的趋势。这就表明，在工程实践中，尤其是在界面存在局部脱胶的情况下，需要格外注意多个界面夹杂之间的相互作用，这种作用可能造成较大的应力集中。

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(编辑 赵俊)

Anti-plane analysis for steady state elastodynamics of interfacial debonding-bottomed circular inclusions

QI Hui1, GAO Chun1,2, ZHOU Yadong1,3, PAN Xiangnan1, CAI Liming1
(1. College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. Department of Civil Engineering, Harbin University, Harbin 150086, China; 3. Jining Institute of Building Design and Research, Jining 272000, China)

SH wave scattering problem of interfacial debonding-bottomed circular inclusions was steadily analyzed, by using “split” and “conjunction”, with complex function method, Green function method, and multi-polar coordinate method. Firstly, Green functions of two split half spaces were constructed, respectively. Secondly, the determined integral equations of unknown forces along conjunctive interface were expressed through the "conjunction" condition which claims displacement and stress continuous on the conjunctive interface. Thirdly, displacement and stress fields were presented by using solved integral equations with direct discrete method. Lastly, dynamic stress concentrations factor around the interfacial inclusion was formulated with expressions of stress fields. Numerical examples were calculated to study the interaction of two interfacial debonding-bottomed circular inclusions, and distributions of dynamic stress concentrations factor around inclusion were displayed. The results show that there are significant effects between interfacial debonding inclusions.

SH wave scattering; Green function; interfacial inclusion; debond; dynamic stress concentration

O343.1；P315.3

A

1672−7207(2016)03−0959−08

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.032

2015−03−26；

2015−06−09

国家自然科学基金资助项目(51379048) (Project(51379048) supported by the National Natural Science Foundation of China)

齐辉，博士，教授，从事弹性波动理论及应用研究；E-mail: qihui205@sina.com