Hilbert K-模上的广义对偶框架

董芳芳

（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

Hilbert K-模上的广义对偶框架

董芳芳

（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

引入了紧算子代数模（简称Hilbert K-模）上广义框架的广义框架变换，广义框架算子，广义典则对偶框架和广义交替对偶框架，应用泛函分析和算子代数的相关理论知识,研究了其性质，并得到了一些重要结论.

Hilbert K-模；诱导序列；广义框架算子；广义对偶框架

1　Hilbert K-模上的广义框架和广义框架变换

紧算子代数模（简称Hilbert K-模）是一种特殊的HilbertC∗-模，它的底代数K为作用在Hilbert空间上的全体紧算子组成的C∗-代数，当然I∉K D.Bakic和B.Guljas在文献[1]中证明了这种模一定存在特殊的标准正交基，其特殊点在于相同基向量的内积为K中的一个秩为1的自伴投影（见[1]），而Hil⁃bertC∗-模不一定存在标准正交基（见[2]）.

由该模上框架的框架变换的引入方式，就联想到：对Hilbert K-模M和有限或可数生成的J个Hil⁃bert K-模Nj，j∈J，其中J为有限或可数生成的指标集，在M到Nj上引入有限或可数生成的J个算子序列：Aj:M→Nj，使得对任意的x∈M，

其中{xj.λ,λ∈Λ}为M的框架，{vj.λ,λ∈Λ}为Nj的标准正交基，则Aj为可伴算子，且

将{eξ,ξxj,λ,j∈J,λ∈Λ}称为算子序列{Aj,j∈J}的诱导系列.这样研究的对象就由K-模M上的元素序列{xλ,λ∈Λ}变成了算子序列{Aj,j∈J}.其中eξ，ξ∈K的定义为：对任意的η∈H，eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ,ξ∈H，且(H为Hilbert空间)，同时，其中(·,·)指Hilbert空间中元素的内积.

文献[3]和[4]中对模和空间上广义框架的引入，但是这种引入方式更具有实际意义，诱导序列很巧妙地在框架和广义框架之间起到桥梁和纽带作用（见[5]）.

定义1设M，Nj均为Hilbert K-模，Aj:M→Nj为可伴算子，称{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义框架，若存在a>0，b>0，使得.若只有右半不等式成立，则称为广义Bessel序列；若a=b，则称为广义紧框架；若a=b=1，则称为广义正规紧框架.

定义2[3]称{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基，若，且

定义3设{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义框架，{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基，引入算子Φ:M→M，使得对任意的x∈M，则 Φ为可伴算子，且，称 Φ 为 {Aj,j∈J}的广义框架变换.

由该定义可知：Φ为单射，那么Φ*就为满射，Φ*Φ就为双射，即Φ*Φ为可逆算子，且事实上，对任意的x∈M，

记S=Φ*Φ，则S为M上的可逆自伴的正算子，将S称为{Aj,j∈J}的广义框架算子.于是，{Aj,j∈J}为广义正规紧框架当且仅当{Aj,j∈J}为广义框架当且仅当存在a,b>0，使得

2　Hilbert K-模上的广义对偶框架

定理1设{Aj,j∈J}M关于Nj的广义框架，S为{Aj,j∈J}的广义框架算子，则{AjS-1,j∈J}等均为M关于Nj的广义框架.

2.1广义典则对偶框架

定义4设{Aj,j∈J}为Hilbert K-模M到Nj的广义框架，S为 {Aj,j∈J}的广义框架算子，称{AjS-1,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义典则对偶框架.

一个广义框架的广义典则对偶框架是唯一的，其求法不难.

例1设{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基，取Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…},j∈J,J为可数或有限生成的指标集，则{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义紧框架，且

即{Aj,j∈J}的广义上下框架界a=b=2，从而其广义框架变换S=2I，则，因此{A,jj∈J}的广义典则对偶框架为：

即{Aj,j∈J}不仅为广义紧框架，其广义框架变换S=3I，，从而{A,jj∈J}的广义典则对偶框架为：

定义5设{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均为Hilbert K-模M到Nj的广义框架，若对任意的x∈M，，即，则 称 {Bj,j∈J}为 {Aj,j∈J}的广义交替对偶框架.

例 2设 Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}，其中{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基，取

或Bj={0,Λ1,0,Λ2,…0,Λj…}，则{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架.事实上，

并且这样的{Bj,j∈J}有个，也说明了广义框架的广义交替对偶框架是不唯一的.类似地，设

或…，或则{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架，且这样的{Bj,j∈J}有个.

如此推广下去，不难有：设

其中每组里有k-1个零算子，则{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架，且这样的{Bj,j∈J}有个.

值得注意的是，{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架{Bj,j∈J}必须满足两个条件，首先是广义框架，其次还要满足，二者缺一不可.

例3设

即{Aj,j∈J}为广义正规紧框架.而对

因此{Bj,j∈J}不可能是广义框架，所以{Bj,j∈J}不是{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架.

2.2广义典则对偶框架和广义交替对偶框架的区别与联系

结论1同一个广义框架的广义典则对偶框架一定是广义交替对偶框架.

事实上，若{Aj,j∈J}为M到Nj的广义框架，则{AjS-1,j∈J}为它的广义典则对偶框架，又由于S是可逆自伴的正算子，从而，S-1S=SS-1=I，且

然而，广义交替对偶框架不一定是广义典则对偶 框 架.例 如 ，Bj={Λ1,0,Λ2,0,…,Λj,0,…}是Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}的广义交替对偶框架，但不是广义典则对偶框架，因为Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}的广义典则对偶框架是唯一的并且为

结论2广义交替对偶是互为广义交替对偶.即：若{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架，则{Aj,j∈J}也为{Bj,j∈J}的广义交替对偶框架.

事实上，若{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架，则，从而，

当然，当 {Aj,j∈J}为广义正规紧框架时，{Aj,j∈J}的广义典则对偶框架和广义交替对偶框架均为它本身，（因为）.

2.3互为广义交替对偶框架的广义框架变换之间的关系

设{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均为Hilbert K-模M到Nj的广义框架，其广义框架变换分别为Φ1和Φ2，则对任意的x∈M，

定理2设{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均为Hilbert K-模M到Nj的广义框架，其广义框架变换分别为Φ1和Φ2，则{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}为一对广义交替对偶框架当且仅当

事实上，由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}为一对广义交替对偶框架当且仅当当且仅当

[1]BAKIC D,GULJAS B.Hilbert C*-modules over C*-alge⁃bras of compact operators[J].ActaSci Math(Szeged),2002, 68:249-269.

[2]FRANK M,LARSON D R.Frames in Hilbert C*-modules and C*-algebras[J].Operator Theory,2002,48:203-233.

[3]肖秀梅,孟彬,靳世华.Hilbert K-模上g-框架的稳定性[J].南京大学学报(数学半年刊),2010,27(1):105-115.

[4]SUN W C.G-frames and g-Riesz Bases[J].Math Anal Appl, 2006,322(1):437-452.

[5]董芳芳.Hilbert K-模上广义框架的（强）不相交性研究[J].中山大学学报,2014,53(2):148-152.

[6]董芳芳.Hilbert K-模上酉系统的广义框架向量集的参数化[J].东北师范大学学报,2014,46(4):36-41.

[7]董芳芳.Hilbert K-模上广义框架的和与直和的稳定性[J].兰州理工大学学报,2014,40(2):154-157.

〔责任编辑高忠社〕

Generalized dual Frames in Hilbert K-Modules

Dong Fangfang
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu741001,China)

s:In this paper,the concepts of generalized frame transform,generalized frame operator,generalized canon⁃ical dual frame and generalized alternate dual frame of generalized frame in Hilbert K-modules are introduced and their properties are studied by applying some theories about function analysis and operator algebra.Finally,some im⁃portant results are obtained.

Hilbert K-module;induced sequence;generalized frames operator;generalized dual frame

O177.1

A

1671-1351（2016）05-0005-04

2016-06-28

董芳芳（1981-），女，甘肃天水人，天水师范学院数学与统计学院讲师，硕士.