水下复杂应力结构的固有频率研究

杨 念， 陈炉云， 易 宏， 刘 勇

(1.上海交通大学 船建学院海洋工程重点实验室，上海 200240； 2. 中船重工第七〇二研究所上海分部，上海 200011)



水下复杂应力结构的固有频率研究

杨 念1， 陈炉云1， 易 宏1， 刘 勇2

(1.上海交通大学 船建学院海洋工程重点实验室，上海 200240； 2. 中船重工第七〇二研究所上海分部，上海 200011)

研究水下结构物的复杂应力状态对结构固有频率的影响，克服以往研究中只考虑整体均匀分布应力的局限性。水下结构因外部环境特殊常常处于复杂应力状态，复杂应力与流固耦合的共同作用使结构的固有频率求解变为一个耦合非线性特征值问题，以往求解流固耦合的方法不再适用于此类问题。有限元方法也能处理此类问题，但存在处理过程复杂、计算量大、不能明确说明结构应力与动力特性之间的本质物理联系等缺点。针对该问题用理论方法进行了分析，首先基于Flügge壳体理论、考虑流固耦合作用、利用特定模态之间的正交性建立复杂应力结构自由运动方程，然后采用多项式近似结合二次型矩阵线性化的方法对此类结构的固有频率进行求解。在数值算例中，计算了某水下圆柱壳的固有频率，并对比和分析了不同类型的复杂应力对于水下结构固有频率的影响特点。

复杂应力；流固耦合；结构振动；固有频率

随着水下工程结构的复杂化及工作环境的特殊性，在承受工况载荷之前，结构中往往已经存在着一定的应力。这些应力中有些是人为施加的，如桥梁、土木结构中施加的预应力；有些是在实际加工过程中不可避免的，如焊接残余应力、结构制造缺陷、热效应等；有些是结构因外部工作环境而产生的，如潜艇壳体中因外部水压力而产生的壳体应力、立管因复杂深海环境而产生的管体应力等。这些应力虽然产生原因和性质特点各有不同：前两类应力是结构在不受外力情况下产生，其应力状态是自平衡的；第三类应力则是因外力作用产生的，其应力状态非自平衡，而是与外力平衡。但这些应力有一个共同点：均在结构承受工况载荷之前便已存在于结构之中，属于广义上的预应力。研究广义预应力对结构固有频率的影响是结构设计中的一个重要内容。

在广义预应力结构的固有频率研究方面，DOONG[1]采用根据高阶剪切变形理论推导了含预应力矩形厚板的控制方程，并将计算得到的屈曲载荷和固有频率与BRUNELLE等[2]进行了比较。高永毅等[3]对有、无残余应力的平板的固有频率进行了对比实验，经实验验证残余应力使构件固有频率发生变化。FUNG等[4]采用对振动位移在时间和空间上进行级数展开的方法，分析得到了含预应力薄壁圆柱壳的固有频率和振型。PENZES等[5]对于任意边界条件的各向同向圆柱壳，推导了含初始扭矩、压力、轴力以及转动效应的自由振动精确解，并与实验数据进行了比较。刘志忠等[6]研究了流体静压对圆柱壳频散特性和功率流的影响。FULLER等[7]建立了充液圆柱壳的自由振动方程，研究了充液圆柱壳的频散特性。张小铭等[8-9]利用波传播方法分析了水下圆柱壳结构和充液圆柱壳结构的自由振动特性。朱大同[10]以两端简支、端头有刚性平面限制的圆柱壳为例，计算了空壳和充液壳的频率，讨论了各阶频率与周波数的关系。

但目前在含广义预应力结构动力学研究领域主要关注应力呈整体均匀分布的情况，对于局部复杂应力问题(应力幅值随位置变化而变)的研究比较少。陈炉云等[11]和刘勇[12]分别运用变分原理和模态正交性开展了局部预应力对结构动力特性影响研究。尽管他们考虑了结构因复杂应力而产生的模态耦合，但并未考虑流固耦合的影响，因此结构自由振动方程仍是一个线性方程，求解相对容易。

但是，实际水下工程结构不仅应力状态复杂，同时还要考虑流固耦合对固有频率的影响，当同时考虑两个影响因素时问题变得非常复杂：当结构应力非均布时，各个结构模态之间会发生耦合，导致不能对单个模态进行单独的自由振动分析，而必须对整个耦合矩阵方程进行求解，得到耦合模态，张小铭等解决流固耦合结构振动的方法不再适用；如果再考虑流固耦合作用，又增加了非线性的问题，陈炉云等未考虑流固耦合的影响，其方法无法运用在水下结构物上。有限元方法[13]虽然能处理此类问题，但其不能明确说复杂应力与动力特性之间的本质物理关系、不便于我们对复杂应力的影响特点和规律进行研究。同时有限元施加指定分布应力的过程较为复杂、计算量大。

本文针对此问题，用理论方法进行了分析。考虑流固耦合作用，利用特定模态之间的正交特性，建立水下复杂应力结构自由振动方程，通过多项式近似结合二次型矩阵线性化的方法解决耦合矩阵的非线性特征值问题，计算并分析了不同类型的局部复杂应力对水下结构物固有频率的影响特点。

1 理论分析

1.1 基本方程

本文以圆柱壳为例，推导水下复杂应力结构动力学方程，其结构如图1所示。

图1 圆柱壳几何模型Fig.1 Cylindrical shell

不考虑流固耦合时，复杂应力壳体自由振动控制方程为:

(1a)

(1b)

(1c)

假设圆柱壳长度为l，边界条件为两端简支，满足边界条件的位移可以表示成如下级数形式[14]：

(2)

式中:λ=π/l。

将式(2)代入式(1)，然后将式(1a)等号两边同时乘以cos(mλx)和cos(nφ)，式(1b)等号两边同时乘以sin(mλx)和sin(nφ)，式(1c)等号两边同时乘以sin(mλx)和cos(nφ)，利用三角函数正交性得：

(3a)

(3c)

式中:a为圆柱壳半径。式(3)即为不考虑流固耦合时复杂应力结构动力学控制方程。如果结构无应力，则通过正交性可实现全部解耦。但如果结构含应力，那应力项C1、C2和C3是不能解耦的，所以他们在式(3)中以积分形式存在，将这些积分项分别设为K1、K2和K3，它们即表征复杂应力对控制方程的影响。积分项K1、K2和K3的存在，表明各阶结构模态之间出现了耦合，不能再单独计算某一阶结构模态，只能对整个耦合方程进行求解，以得到耦合模态。

1.2 考虑流固耦合影响

本文考虑结构浸没在流体中的情况。考虑流固耦合作用后，需在式(1c)中加入流体对结构表面的压力项Pf，式(1c)变为:

(1c’)

压力项的表达式设为[15]:

(4)

由流体、固体在结构表面速度连续，即边界条件为:

(5)

把位移、压力项表达式带入边界条件得：

(6)

因此可用位移系数表示流体对结构表面的压力项：

Pf=

则(3c)变为:

(3c’)

本文不考虑切应力，只考虑正应力。将复杂应力表达式设为:

(8)

将式(8)代入K1、K2和K3，利用正交性对K1、K2和K3进行处理(具体处理过程见附录B)，处理后单阶模态只和指定阶模态发生耦合，和其他阶模态之间可以实现解耦。最后将处理后的K1、K2和K3代入式(3)建立3M×N个方程，将其联立为方程组并表示成矩阵形式:

(Λ+Rgj)X=0

(9)

式中:X={U1…U(m-1)×N+n…UM×N}T，U(m-1)×N+n=

当结构中应力形式更加复杂时，复杂应力可用级数形式表示：

(10)

按照上述相同的方法，可以建立3M×N个方程，将其联立成方程组并表示为矩阵形式：

(Λ+R)X=0

(11)

复杂应力的级数项是线性相加关系，R可以表示为:

(12)

需要注意的是，大部分的分布函数(无论是自平衡还是非自平衡复杂应力的分布形式)都可以用本文提供的级数去拟合。因此对于实际结构中的自平衡和非自平衡复杂应力，本文方法均可适用。

1.3 自由振动

自由振动求解，令式(11)的系数矩阵行列式为零：

(13)

Λ+R=B0+B1·ω+B2·ω2

(15)

式中:B0包含泰勒展开中的常数项和复杂应力矩阵R；B1为泰勒展开中的ω的一次项系数矩阵；B2包含泰勒展开中的ω的二次项系数矩阵和未考虑流固耦合时的ω系数矩阵。这样，原非线性特征值问题变为二次型特征值问题，用第一类伴随矩阵对式(15)进行线性化处理[16-17]：

(16)

式中:I为单位矩阵。经过线性化处理后得到一般特征值问题(Generalized Eigenvalue Problem，GEP)，最后对此一般特征值问题进行求解得到固有频率和耦合模态阵型。

2 算例分析

2.1 方法正确性验证

表1 解析方法与有限元方法计算结果Tab.1 The result form analytical method and finite element method

图2 圆柱壳模型图Fig.2 Cylinder model

图3 圆柱壳轴向预应力分布形式Fig.3 Cylindrical shell axial initial stress distribution

通过表1可以发现，有限元计算结果和解析方法计算结果基本吻合，从而验证了本文方法的正确性。

2.2 算例模型

本节用本文方法计算某水下复杂应力结构的固有频率，并分析不同分布的复杂应力对固有频率的影响特点。需要说明的是，本文所有应力分布均属于结构整体分布。所选用模型与2.1节相同。另外考虑流体影响，水的密度ρf=1 000 kg/m3；水中声速c=1 500 m/s。

表2 固有频率对比Tab.2 Natural frequency comparison

图4 复杂应力分布图Fig.4 Complex stress distribution

从表2可以看出复杂应力对水下圆柱壳自然频率影响明显，影响程度随着应力幅值的增加而增大，因此当水下结构中的复杂应力幅值达到一定程度时，其对结构固有频率的影响将不能忽视。以下各节将从不同方面研究不同类型的复杂应力对结构固有频率的影响特点。为使问题研究更具针对性，2.3～2.5节均只考虑单向变化应力，并且都选用2.1节中的模型。

2.3 应力方向对固有频率的影响规律研究

本节研究轴向与周向复杂应力对于结构固有频率的影响规律。计算工况如表3所示，分别比较这几种工况下结构的前八阶固有频率计算结果如表4所示。

表3 工况表Tab.3 Case table

表4 固有频率对比Tab.4 Natural frequency comparison

从表4可以看出，轴、环向拉应力使结构固有频率上升，压应力使结构固有频率下降，这与相关文献中得到的影响规律是一致的[18-21]。其中环向应力对固有频率的影响更大，因此在实际水下工程中对圆柱壳结构应特别注意环向应力的控制。这一点容易解释，结构在环向刚度更低，临界应力更低，因而结构固有频率对于环向应力的改变更为敏感。

2.4 复杂应力状态与均匀应力状态的结构固有频率对比研究

本节研究复杂应力状态与均匀应力状态对结构固有频率的影响。计算工况如表5所示，本节分别计算了结构在非自平衡复杂应力(模拟受外力结构应力状态)及自平衡复杂应力下(模拟含预应力结构应力状态)的固有频率，并与2.3节中的代表均匀应力状态的工况3、4进行比较。这几种复杂应力分布形式均为三角函数，具体分布如图5所示。比较这几种工况下结构的前八阶固有频率，计算结果如表6所示。

表5 工况表Tab.5 Case table

表6 固有频率对比Tab.6 Natural frequency comparison

图5 应力分布图Fig.5 Stress distribution

从表6可以看出，本节所选的复杂应力类型对结构固有频率的影响程度相对于均匀应力略小，可能是因为所选复杂应力在作用区域积分后总的数值小于均匀应力的总值造成的。而总值相等、分布类型不同的复杂应力对结构的影响情况将在2.5节中进行详细研究。此外，自平衡应力状态下结构的固有频率几乎没有变化，该现象同样可用前面积分总值的理论进行解释。可见，相较于均匀应力，接近实际结构应力状态的复杂应力对结构固有频率的影响特点更为复杂，有必要进行深入研究。

2.5 复杂应力分布形式对固有频率的影响研究

本节研究不同分布形式的复杂应力对于结构固有频率的影响。选用模型同前面一样，计算工况如表7所示，复杂应力分布如图6、7所示，工况13、14、15比较了几种幅值相同、周期不同的复杂应力对固有频率的影响；把工况16、17、18和2.4节中的工况5放在一起，比较了几种应力集中度不同的复杂应力对固有频率的影响，这三种工况的应力在结构区域内积分的数值相等。计算结果如表8所示。

图6 应力分布图1Fig.6 Stress distribution 1

图7 应力分布图2Fig.7 Stress distribution 2表7 工况表Tab.7 Case table

工况应力方向分布特征细化特征应力幅值/Mpa工况13环向自平衡复杂应力4个半波10工况14环向自平衡复杂应力8个半波10工况15环向自平衡复杂应力12个半波10工况5环向复杂拉应力应力集中度低10工况16环向复杂拉应力应力集中度中10工况17环向复杂拉应力应力集中度高10工况18环向均匀拉应力应力集中度最低20/π

表8 固有频率对比Tab.8 Natural frequency comparison

从本节计算结果可以看出，在复杂应力幅值相同时，周期应力的周期大小对于结构固有频率的影响不大。此外，当复杂应力在结构区域内积分总值相等时，应力集中度不同会在一定程度上影响：应力集中度越高，对固有频率的影响越小。但总的说来，应力集中度对固有频率的影响并不显著。另外值得注意的是，应力集中度对固有频率的影响虽不明显，但对结构的其他性能(比如管壁应力极值、强度、稳定性)却可能产生较大影响，实际结构中应当注意这方面的影响。

3 结 论

文章基于Flügge壳体理论，运用特定模态之间的正交关系，实现模态的部分解耦。并考虑流固耦合作用，推导了水下复杂应力结构自由振动方程，采用多项式近似结合二次型矩阵线性化的方法求解该非线性特征值问题。运用本文方法对不同类型复杂应力的影响情况进行了计算与分析，计算发现：环向应力对圆柱壳固有频率影响更大，在实际水下工程中对圆柱壳结构应特别注意环向应力的控制；在作用区域内积分总值更大的复杂应力对结构固有频率的影响更大；当应力积分总值一定时，应力分布周期及应力集中度对结构的影响不大；此外，自平衡复杂应力对结构影响较小，但这一点还不能完全确定，如3.1节中的复杂应力在作用区域内也是自平衡的，但其对结构的固有频率仍有较大影响，因此复杂应力对结构的影响特点还需进行更加深入的研究。

通过本文研究表明，结构中存在的复杂应力会影响其固有频率，不同类型的复杂应力其对于结构固有频率的影响程度和特点不同，与均匀应力的情况相比更为复杂，需深入研究各类复杂应力所带来的影响。实际工程结构物中的应力一般都为非均匀分布，以往只研究均匀分布应力对结构的影响远远不够。在今后研究中应结合水下工程结构物的实际应力分布特点开展复杂应力结构动力学特性的研究。

[1] DOONG J L. Vibration and stability of an initially stressed thick plate according to a high-order deformation theory[J]. Journal of Sound and Vibration, 1987, 113(3): 425-440.

[2] BRUNELLE E J, ROBERTSON S R. Vibrations of an initially stressed thick plate[J]. Journal of Sound and Vibration, 1976, 45(3): 405-416.

[3] 高永毅，刘德顺. 利用试验模态分析进行残余应力评估的研究[J]. 振动与冲击, 2005, 24(5)：111-114. GAO Yongyi, LIU Deshun. Studies on estimation of residual stress using modal analysis[J]. Journal of Vibration and Shock,2005, 24(5)：111-114.

[4] FUNG Y C, SEEHLER E E, KAPLAN A. On the vibration of thin cylindrieal shells under intemal pressure[J]. Journal of the Aeronautical Science, 1957, 24(9): 650-660.

[5] PENZES L E, KRAUS H. Free vibration of initial stressed cylindrical shells having arbitrary homogeneous boundary conditions[J]. AIAA Journal, 1972, 10(10): 1309-1341.

[6] LIU Z, LI T, ZHU X, et al. The effect of hydrostatic pressure fields on the dispersion characteristics of fluid-shell coupled system[J]. Journal of Marine Science and Application, 2010, 9(2): 129-136.

[7] FULLER C R. The effects of wall diseontinuities on the propagation of flexural waves in cylindrieal shells[J]. Joumal of Sound and Vibration, 1981, 75(2): 207-228.

[8] ZHANG X M, LIU G R, LAM K Y. Vibration analysis of thin cylindrical shells using wave propagation approach[J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 239(3): 397-403.

[9] ZHANG X M, LIU G R, LAM K Y. Frequency analysis of cylindrical panels using a wave propagation approach[J]. Applied Acoustics, 2001, 62(5): 527-543.

[10] 朱大同. 充液圆柱壳的自振特性[J]. 力学学报, 1984, 16(2): 141-150. ZHU Datong. On the free vibration of a circular cylindrical shell filled with liquied[J].Theoretical & Applied Mechanics,1984, 16(2): 141-150.

[11] 陈炉云, 李磊鑫, 张裕芳. 含局部预应力的圆柱壳结构声辐射特性分析[J]. 上海交通大学学报, 2014, 48(8): 78-64. CHEN Luyun, LI Leixing, ZHANG Yufang. Characteristics anylysis of structural-acoustic of cylinder shell with prestress in local areas[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University,2014, 48(8) : 78-64.

[12] 刘勇. 复杂预应力对圆柱壳结构动力特性影响研究[D]. 上海：上海交通大学, 2014.

[13] 熊健民，周俊荣，周金枝. 基于 ANSYS 预应力简支梁固有频率的研究[J]. 固体力学学报, 2008, 29: 158-161. XIONG Jianmin, ZHOU Junrong, ZHOU Jinzhi. Research of pre-stress simple-supported beam’s natural frequency based on ansys[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2008, 29: 158-161.

[14] 何祚镛. 结构振动与声辐射[M]. 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社, 2001.

[15] ZHANG X M. Frequency analysis of submerged cylindrical shells with the wave propagation approach[J]. Mechanical Science, 2002, 44(7): 1259-1273.

[16] KIRKUP S M, AMINI S. Solution of the Helmholtz eigenvalue problem via the boundary element method[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1993, 36(2): 321-330.

[17] GIORDANO J A, KOOPMANN G H. State space boundary element-finite element coupling for fluid-structure interaction analysis[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1995, 98(1): 363-372.

[18] 曹志远. 板壳振动理论[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1989.

[19] 张耀庭，汪霞丽，李瑞鸽. 预应力梁固有频率的试验研究[J]. 华中科技大学学报, 2007, 35(2): 12-15. ZHANG Yaoting, WANG Xiali, LI Ruige. Experimental research on nature frequency of prestressed concrete beams [J]. Journal of Huazhong University of Science & Technology,2007, 35(2): 12-15.

[20] 张耀庭，汪霞丽，李瑞鸽. 全预应力梁振动频率的理论分析与试验研究[J]. 工程力学, 2007, 24(8): 116-120. ZHANG Yaoting, WANG Xiali, LI Ruige. Experimental and theoretical research on vibration frequency of full-prestressed concrete beam[J].Engineering Mechanics, 2007, 24(8): 116-120.

[21] 姜劲枫，王柏生. 预应力梁、板弯曲振动固有频率的研究[C]// 第五届全国结构工程学术会议论文集(第二卷),1996.

附录A

L1,L2,L3,C1,C2,C3的具体表达式如下：

附录B

附录C

A(m-1)×N+n中的元素为：

附录D

Natural frequencies of underwater complex stress structures

YANG Nian1, CHEN Luyun1, YI Hong1, LIU Yong2

(1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai JiaoTong University, Shanghai 200240, China;2. Ship Scientific Research Center of China, Shanghai Branch, Shanghai 200011, China)

The influence of the complex stress in underwater structure on its natural frequency was discussed and the limitation of the assumption of overall uniform stress distribution in former studies was revealed: the stresses in underwater structures are often very complex because of their working environment. The coaction of complex stress and fluid-structure coupling offers a nonlinear eigenvalue problem which is difficult to solve. An underwater cylindrical shell was taken as an example and based on the Flügge shell theory, considering the fluid-structure interaction and making use of the orthogonality of specific order modes, the dynamic equation of the structure was derived. The stress-caused coupled fluid structure modes were calculated by means of the polynomial approximation and quadratic matrix linearization. In the case study, the natural frequencies of structures with different types of stresses were calculated and the influence characteristics of different types of stresses were analysed and compared.

complex stress; fluid-structure interaction; structure vibration; natural frequency

2015-05-07 修改稿收到日期：2015-10-26

杨念 男，博士生，1989年3月生

易宏 男，教授,博士生导师，1962年5月生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.015