以函数对称性为视角的命题探究
——从函数的奇偶性说起

☉河南省商水县第二高中 黄俊峰

以函数对称性为视角的命题探究
——从函数的奇偶性说起

☉河南省商水县第二高中 黄俊峰

对称性是函数的重要性质，也是高考的重要考查内容，从内容上来看函数的对称性主要包括：轴对称与中心对称.

例如，奇函数和偶函数就是两类特殊的对称函数，其定义域为关于原点对称的对称区间，其中奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称.即奇函数在其定义域内满足f（-x）=-f（x），偶函数在其定义域内满足f（-x）=f（x）.

利用奇偶函数对称性的相关结论常可简洁解题，如偶函数在对称区间内的最值相同、单调性相异；奇函数在对称区间内的最大值与最小值互为相反数，对称区间内的单调性相同等.

例1已知（fx）在其定义域R内满足（f-x）-（fx）=0，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞（f-），则a的取值范围是______.

解析：由条件f（x）在其定义域R内满足f（-x）-f（x）=0知f（x）在定义域内为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，则不等式可转化为，即，所以|a-1|＜，解得

评注：本题的解答关键是由条件关系式f（-x）-f（x）= 0确定函数为偶函数，则函数f（x）关于y轴对称，再利用偶函数在对称区间内单调性相异及f（-x）=f（x）=f（|x|）列出不等关系进行求解.

令，则F（X）是R上的奇函数.

因为奇函数的图像关于原点对称，所以F（X）min+ F（X）max=0.

因为F（X）max=f（x）max-1=M-1，F（X）min=f（x）min-1=m-1，所以（M-1）+（m-1）=0，所以M+m=2.

除奇偶性这种特殊的对称关系外，还有如下几种对称类型，下面举例说明.

一、轴对称

（1）若f（a-x）=f（a+x），则函数f（x）的图像关于直线x= a对称；

（2）若f（a-x）=f（b+x），则函数f（x）的图像关于直线x=对称.

例3（2015年福建）若函数f（x）=2|x-a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在［M，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于_______.

解……