知其然、知其所以然、知何由以知其所以然
——由2016年浙江理第19题引发的数学解题教学的思考

☉山东省青岛第二中学 牟庆生

知其然、知其所以然、知何由以知其所以然
——由2016年浙江理第19题引发的数学解题教学的思考

☉山东省青岛第二中学 牟庆生

数学教育家傅种孙先生曾言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”这为数学解题教学标明了三个递进的境界：一是知其然，二是知其所以然；三是知何由以知其所以然.数学解题教学，不能满足于一，应该立足于二而求三.下面笔者就结合2016年浙江省高考数学理科第19题的教学过程，谈谈对此的看法.

图1

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

分析：第（Ⅰ）问属于常规问题，设截得的线段为AP，容易求得|AP|=此题研究的重点是第（Ⅱ）问.

一、知其然

1.阅读审题知“求什么”

解答任何一个数学题目之前，都要先进行读题与审题.通过审题明确考查的知识要点，分析题目的已知条件和待求结论，理解题意并且初步确定解题方向.

上述题目的第（Ⅱ）问考查的是圆与椭圆的位置关系，已知条件：“定点A”，“圆与椭圆至多有3个交点”；结论：“求离心率的取值范围”.显然，条件与结论之间的联系并没有像第（Ⅰ）问那么显而易见，这就导致学生认知上的困难.

2.操作演示知“是什么”

当题目呈现的内容比较复杂，学生难以从字面上获得解题的直接线索时，就需要借助“操作演示”来促进学生对问题的理解.“作图”是找到问题切入……