浅谈数形结合思想在小学数学教学中的应用

文/卜朝辉

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的应用

文/卜朝辉

“数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。” 这几句话形象而贴切地解读了数形结合的数学思想。“数”与“形”是数学中两大研究对象。那何为数形结合呢？所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合是数学解题中常用的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化，也可以使某些直观的数学问题抽象化，是抽象思维与形象思维的相互转化过程，有助于把握数学问题的本质。

根据对人类大脑的研究发现，人类大脑的两半球具有不同的功能，其中，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭。而人的右半脑功能则偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散。左右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。数形结合思想就同时运用了左右半脑的功能，在解决问题的同时，能达到既培养形象思维能力，又促进逻辑思维能力发展的效果。

我的疑问——数形结合是先有数，还是先有形？

数形结合的数学思想是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。我不禁深深地思考一个问题：数形结合到底是先有数后有形，还是先有形后有数呢？很多人说法不一。根据对小学阶段的数学教材进行分析，一般认为在小学的两个学段中，这两种情况各有侧重。

第一学段，由于学生以具体形象思维为主，一般是先有形，从形中抽象出数。比如：学习“100以内数的认识”时，在了解“十”与“百”之间的十进制关系，认识计数单位“百”这个教学环节时，可先让学生先从学具盆中拿出10块糖放成一堆，问：“10个一是多少？”接着又拿出“1个十”，问：“现在是几个十？”把剩下的十个一堆摆出来，并要求学生十个十个地数，得出：10个十是一个百。然后出示10个小正方体，说明10个一是1个十，接着继续出示小正方体又让学生十个十个地数到一百。这个教学环节从“实物——图形——数字”，是一个从具体到抽象的过程，这里的数形结合的思想就是先有形，近而抽象出数。

第二学段，学生从具体形象思维已逐渐向抽象逻辑思维发展，这时数形结合的思想一般是先有数，后以形作为数的支撑。比如：有关分数的实际问题。“在甲、乙两地间铺一条光缆。当完成全部工程的时，恰好超过中点80千米。这条光缆全长多少千米？”这个题目的数量关系学生只从字面理解有困难，但是复杂的数量关系，如果结合了直观线段图，问题马上就化难为易了。这里是先有数，而后有形，数形结合解决了实际问题。

数形结合是先有数，还是先有形？这个问题，引领人们不断去研究教材，从而对数形结合的数学思想有了进一步的了解。看来，数形结合的数学思想在教学中要根据不同的学段灵活运用。

以形助数，以数解形，演绎数与形的完美结合

数形结合包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。前者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的；后者是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。数与形互为依存，两者无法分割。在教学中，哪些方面的内容可以运用数形结合的数学思想呢？

以形助数 首先，在数的认识教学中渗透数形结合思想。在小学阶段数的认识主要包括认识自然数、小数、分数和负数。在认识自然数和小数时，因为它们都是十进制计数法，因此在教学时都可以采用前面举例中提到的“认识100以内数”的方法，采用小正方体或小正方形的直观图，帮助学生建立数概念。对于分数的认识更是离不开图形，往往单位“1”概念的形成都是以图形作为表象，从而达以理解分数的意义。在学习负数时，数形结合主要体现在数轴上的点与数建立了一一对应的关系，使抽象的负数能够形象地印在了学生的脑海里。从这些例子可以看出，认识数的教学，真的离不开形。形是沟通实物与数的桥梁，也是思维发展的桥梁。

第二，在数的运算教学中渗透数形结合思想。小学数学内容中，数的运算是重头戏。计算教学的重点就是引导学生理解算理，掌握算法。算理是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法呢？正所谓“知其然、还要知其所以然”。那么在帮助学生理解算理的过程中，就可以适时运用数形结合的数学思想。如：分数除以整数的教学，，理解其算理

第三，在解决问题的教学中渗透数形结合思想。在解决实际问题的教学中，数形结合的数学思想又成了一种解决的方法。小学阶段主要是利用线段图来帮助分析、解决。从低年级有关“倍”的实际问题，到中年级的“行程”问题，再到高年级的分、百实际问题，解决这些问题都是把反映数量关系的“数量”与“线段图”紧密结合，这样很快就能找到了解题方法。这里利用数形结合的思想主要目的是借助图形把抽象、复杂的数量关系形象化、直观化，以帮助理解题中的数量关系，拓宽解题思路，提高解题能力。

第四，在探索规律的教学中渗透数形结合思想。新课改后，数学教学中新增加了“探索规律”的内容。其中很多题目都体现了数形结合的数学思想。如：

这个题目，每增加一个小正方形，所摆小棒的根数也会有规律地增加。这类从图中隐藏的规律，用数的形式表示出来的题目，数形结合对于学生思维的发展非常有益。

以数解形 上面更多的谈到的是以形助数的例子。实际在图形教学中，“数”也起到了非常重要的作用。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、烦琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使学生更准确地认识和把握“形”。

其中对于图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是学生对形体直观知觉的深化。如：学习长方体的体积，是把一定数量的小正方体摆成不同的长方体，从中得出了长方体的体积与长宽高有密切的联系。得出了长方体的体积公式。这个过程就是以数解形的过程，长方体体积最终是用数表现出来。这样的例子还有很多：“π”一个数值便揭示了圆的周长与直径的关系；小小的13明确了等底等高圆柱和圆锥体积的内在联系。

小学数学教学中，所涉及的数形结合，决非仅局限于以上列举的几个方面。但无论是“以形助数”还是“以数解形”，数与形都犹如鸟的双翼、草的根茎，二者密不可分。数与形的完美结合，演绎了数学的精彩。

运用数形结合的数学思想需要注意的两个问题

渗透有度，润物无声 小学阶段要让学生获得一些数学思想方法，但绝不是大张旗鼓地告诉学生，而是在教师精心设计下，让学生自己体会，逐渐渗透。这种渗透的结果，是让学生能见到有关数的问题，便会想到用形来帮助解决；而有关形的知识，便会与数建立联系。因此，教师在教学时，要做到渗透有度，润物无声。

让数形结合的过程成为探究的过程 让我们一起回顾上面举的例子：数的认识中建立数概念的过程，数的运算中探寻算理的过程，解决问题的分析过程，探索规律的发现过程，图形中公式的推导过程……这些既是让学生体会数形结合的数学思想的过程，同时也是学生动手操作、动脑探究的过程。教师在教学时一定要给学生充分体验和探究的空间，使学生在收获数学思想方法的同时，思维得以发展，能力得以提升。

数形结合的数学思想的内涵深远，从古至今魅力不曾衰减，决非只言片语就能说清。在今后的数学教学中，教师要更加关注数形结合的数学思想在教学中的应用，让数与形的完美结合使数学更加富有生命力。

（作者单位：北京教育学院附属大兴实验小学）