椭圆还圆法

闵学文

解决椭圆复杂问题时，同学们往往觉得解题过程很繁杂而不愿意去做，如果掌握了椭圆还圆法，将椭圆变成圆，然后利用圆的性质解决这些问题，那么解决椭圆问题的时候就可以找到捷径.

首先看复旦保送题：在四分之一的椭圆+=1（x>0，y>0）上求一点P，使过点P椭圆的切线与坐标轴围成的三角形的面积最小.

解析：令=x′=y′，则椭圆方程变换为x′+y′=1.

设椭圆的切线交x轴于B，交y轴于A，则变换为单位圆后分别变为A′，B′，由于仿射不变性，则|OB|=a|OB′|，|OA|=b|OA′|.

S=|OA|·|OB|，S′=|OA′|·|OB′|？圯S=abS′.

在单位圆中，∵OP′⊥A′B′，∴|OA′|·|OB′|=|OP′|·|A′B′|=|A′B′|，

且|A′B′|=.

上面两式平方可得：|OA′|·|OB′|=|OA′|+|OB′|≥2|OA′|·|OB′|=2.

∴S′≥1，此时面积最小，P′（，）.由变换可知P（a，b）为所求.

刚才我们使用了仿射不变性，这是高等数学的性质，在这里我们不去证明，但是我们需要记住以下结论：

1.共点、共线不变（直线和圆锥曲线的位置关系不变），例如：原来相切（交）变换后仍然相切（交）；2.坐标成比例变化；

3.斜率成比例变化；k==-·=·k；

4.面积成比例变化；S=abS′；

5.线段成比例变化.（是中点的变化后还是中点）

我们再看一题（06山东文21）：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形是正方形，两准线间的距离为4，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A，B两点，当△AOB的面积取得最小值时，求直线l的斜率.

解题分析：（1）容易得椭圆方程为：+y=1；

（2）令=y′=x′，由于仿射不变性，可知P（0，2）变化为P′（0，2）.

题目改为求单位圆x′+y′=1过P（0，2）的直线l交圆于两点A′，B′，△A′OB′面积最大时直线方程.

S=|OA′||OB′|·sinθ=sinθ；

∴当sinθ=1时，即θ=时取得最大，此时转换成求O点到直线l′的距离为，可设直线l′的方程为：y=k′x′+2，由距离公式可得：

=？圯k′=±，所以根据斜率成比例可得：k=·k′=±，这道题被我们瞬间秒杀.

（2011年重庆理20）：如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2.（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ） 设动点P满足：=+2 ，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-，问：是否存在两个定点F，F，使得|PF|+|PF|为定值？若存在，求F，F的坐标；若不存在，说明理由.

解析：容易得知椭圆方程为+=1，x′=y′=，

变化为单位圆后，∵k·k=·k·k=-∴k·k=-1，

容易得到动点P′满足|OP′|=，即x′+y′=5为其方程，

所以+=1为动点P的轨迹方程，则|PF|+|PF|为定值，

∴F（-，0），F（，0）为所求.

通过此题是想告诉我们出题是根据椭圆还圆法，反向转化，就将一道弱智的题变成一道巨难的解析几何难题.同时我们也可知道高考命题的方式、背景，加深对考题真题的认识.

有了对椭圆还圆法全面的认识，那么到底什么时候用？归纳了以下几种：

1.面积问题；

2.线段成比例问题；

3.斜率成比例问题；

4.变换后成特殊几何关系.

此种方法确实存在风险，但它能帮助我们快速获得结果，便于检查，可以用常规式子写出过程，用此法得出结果.优秀学生参加自主招生考试时可以随意使用.