高中数学概念学习的认知障碍探究

梁维高

数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，是用数学语言揭示事物的共同属性及本质属性的思维形式。认知心理学把数学概念定义为“符号所代表的具有标准共同属性的对象、事物、情境或性质”，这里的符号主要指具有一般意义的词。例如，看到“圆”这个词，人们首先从生活中想到具体的圆的表象，然后从中抽象出圆的概念。世界上并不存在这种离开具体圆的抽象圆，这时“圆”这个词就代表了一个概念。概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“圆”为例，词“圆”是概念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义；符合定义特征的具体图形都是“圆”的例子，称为正例，否则叫反例；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为定长（半径）等。

一、概念的特征

从概念学习心理角度看，概念学习具有以下几个方面的特征：

1.概念发展的抽象性。数学概念的形成有两种基本抽象方式：一般化抽象，即减少概念的限制，使其适用于更规范的情景；如圆、直线、平面等数学概念。分离式抽象，即通过将概念与背景相分离而达到抽象的目的。数学中的大多数概念都是一般化抽象的结果，分离式抽象一般只出现在一些由定义给出的概念中。

2.概念表征的多元性。所谓表征是用某一种形式，将事物或想法重新表现出来，以达到交流的目的。以函数表征为例，在韬尔的研究中，函数概念在两个维度上具有“丰富的联系”：其一是表示方式，其二是表示水平。首先，函数是一个多面的对象，表现方式包括作为形式概念的函数符号（ y=f（x）），作为通俗概念的函数机；既有代数的特征（函数解析式），数的特征（函数的列表表示），又有几何特征（函数图像）。其次，从认知水平上看，函数概念还涉及前程序、程序、过程、对象和过程性概念五个层次。

3.概念理解的层次性。加涅在20世纪60年代就提出学习阶层的概念，他指出学习活动有其合理的次序存在，较简单的学习为较复杂的学习预备条件。数学概念、原理原则及运算技巧等的学习均有一定的先后顺序及学习阶层顺序。斯根普把直接由感知得到的概念称为初级概念，由初级概念再抽象之后得到的概念称为二级概念，他强调学习者在学习新概念之前，必先学习这概念用到的先前概念。

4.概念联结的系统性。数学概念具有广泛的联系，既包括概念与其背景的联系，又包括概念之间的联系；既有横向的联系，又有纵向的联系。对数学概念系统的研究主要涉及三个方面，一是核心概念的析取。在一个概念系统中，有一些概念处于核心位置，其他概念或者由它生成，或者都与它有密切的联系。二是研究相关概念的形成、组织和表征，使心理发生学成为很有意义的研究途径。三是概念的系统程度是评价学生概念理解的一条重要指标。

二、概念的同化

在教学中利用学生已有的知识经验，以定义方式直接提出概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念相联系学习和掌握概念的方式，叫做概念同化。高中数学概念多建立在小学和初中概念基础之上，采用螺旋上升方式进行深化表征。概念同化以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用理解概念，因而在教学方法上多直接呈现定义，与奥苏贝尔的“有意义的接受学习”方法基本一致。由于数学概念具有多级抽象的特点，学生学习新概念在很大程度上依赖旧概念及原有的认知结构，因此概念同化的学习方式在高中数学概念学习中更适用。

三、数学概念学习的认知障碍

1.在感知阶段的主要信息解读障碍：数学语言在识别、理解和转换上存在障碍。这些障碍导致学生不能很好地理解概念的定义、术语和符号，因而不能很好地对信息编码。

2.在理解阶段的主要障碍：（1）对数学概念本质属性模糊不清，对同一概念的不同表达形式缺乏概括和理解，使原认知概念无法同化新知识；（2）对邻近概念辨别不清，不明确该概念与上概念、下概念的联系和区别，新知识不能整合到原有知识结构中。

3.在应用阶段的主要障碍：（1）对同一概念的不同表达方式不能灵活转换；（2）在概念中不能全面渗透数学思想和方法。

四、突破高中生数学概念学习认知障碍的策略

1.克服学生数学语言障碍对策：创设数学情境，强化学生在数学概念中在文字语言、图形语言与符号语言之间灵活转换，重视关键词语及符号的讲述，渗透集合和逻辑思想并弄清对象间的联系。

2.运用变式教学突出概念的本质属性，引导学生准确理解概念：数学概念是抽象的，任何一个具体材料是数学概念的特例而不是数学概念的全部，如果没有对具体材料进行变形，导致学生把数学概念集中在事物的偶然的、表面的特征上。因此为了使学生正确理解和运用概念，必须使学生具有各种不同的直观经验，尤其教师的讲解不能限定在教科书的标准图形和符号上，而要采用各种不同的形式，变换它的位置、大小及不同符号表示，举反例、做变式等。教师还应加强对概念的进一步分析，讲清内涵与外延，沟通知识的内在关系，分清旧知识的区别与联系。如分析异面直线的概念，让学生理解“不同在任何一个平面的两条直线”与“在两个平面的两条直线”，对定义逐字逐句加以推敲。让学生理解概念之间的内在联系，新概念要纳入旧概念体系，必须对新旧概念进行比对，及时沟通概念间的联系，抓好对同类概念的比较、邻近概念的比较和同一概念不同表达方式的比较。

3.培养学生的概括能力。高中生有较强的认知能力和高中数学认知规律，适当启发点拨，指导学生从个别情形入手，分步概括，力求抽象出一般原则，达到最终求解的目的。

4.让学生建立良好的数学认知结构。教师要熟悉学生原有认知结构，并通过适当的手段帮助学生建构缺少的观念，明晰模糊的概念，强化其稳定性。创设良好的问题情境，让学生明白将要学到什么知识或者具备什么能力，从而主动参与学习，制造认知冲突，打破学生的心理平衡，激发学习兴趣，使学生积极进入新知识学习，主动构建数学认知结构。突出数学思想方法教学，如配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等数学方法；实验观察、猜想、类比、推理、分析、综合、抽象等数学思想。注意整体性教学：注意知识组块的教学，把新知识纳入原知识模块中整体考虑，使新知识和原有知识相联系，并把有联系的知识重新组成一个大的知识组块。