凸显操作价值 促进学生发展

张皎

摘 要：小学阶段的数学知识，“并不是从显明的、叙述的心理中推演出来的”，它更多地来源于生活，来自于学生的实际。因此，“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式”（新课程标准）。操作已成为数学课堂，尤其低年级数学课堂学生获取知识的重要方式。然而，当我们静下心来仔细审视时，不禁悚然于这种方式行进中所凸现的忙碌于形式的现象（重过程而轻结论），匆匆于场面的表演（重结论而轻过程），操作往往是浮光掠影，浅尝辄止。到底是以知识引领操作的进程，还是以操作引领知识的发展？其实不论怎样，只有从学生的实际出发，为了学生的发展，操作才有存在的价值，才更具丰富的内涵。

关键词：认知结构；数学语言；数学智慧

一、为丰富学生的认知结构而操作

学生面对新知时，并不是完全陌生的。他们总会在已有的认知系统中寻找到与之相关联的旧知作为“固着点”，并在“固着点”的基础上促进新旧知识间的相互转化，把新知纳入已有的旧知系统而获得意义，形成新的认知结构。在数学学习中进行操作时（基于学具等进行的动手实践），学生总是在对已有的知识、经验和处理问题的习惯方式的不断追问中探索、反思、提升，获得新的感受。因此，合理有效的数学操作，更有利于学生自主建构，进一步丰满已有的认知结构。

【案例1】 求一个数的几倍是多少的实际问题（苏教版小学数学三年级上册）

1. 出示填空题：

白菜：□□□

青菜：○○○○○○○○○○○○

白菜有（ ）棵，青菜有（ ）棵，青菜的棵数是白菜的（ ）倍。

2. 操作：

师：第一行摆○○，第二行摆△，使△的个数是第一行的3倍。

（生摆△。）

师：谁来说一说你摆了几个△？

生：摆了6个。

师：第一行摆○○，第二行摆△，使△的个数是第一行的4倍。

（生摆△。学生已经在两个两个地摆了。）

师：谁来说一说你摆了几个△？

生：摆了8个。

师：第一行摆○○，第二行摆△，使△的个数是第一行的5倍。你准备摆几个？

（有的学生已经不摆了，大部分在两个两个地摆，很快就得出摆10个。）

师：第一行摆○○○， 第二行摆△，使△的个数是第一行的2倍。

（生摆△。）

师：谁来汇报你摆了几个？

生：摆了6个。

师：如果要使第二行摆△的个数是第一行的4倍，你怎样摆？

师：如果要使第二行摆△的个数是第一行的6倍，你怎样摆？

至此，学生已经不用摆了，很快说出4倍就摆4个△△△，6倍就摆6个△△△。再进行例题的实际问题教学就水到聚成了。

……

“求一个数的几倍是多少的应用题”是基于“一个数是另一个数的几倍”这一知识点进行的。在教学过程中，我们首先让学生通过填空的形式回忆“几个”“几个几”“几倍”，让他们对新知的学习进行心理上与知识上的充分准备。然后根据要求操作，在摆△是○○的2倍时，凭直觉与心算，学生很快就能得出结果。在摆△是○○的3倍、4倍的质同形异的类比推理式操作中，学生已能将△两个两个地摆放。而且，此时已有部分学生自觉地从观察“一个数是另一个数的几倍”过渡到“求一个数的几倍是多少”的思维上的同化与顺应。在摆△是○○○的2倍、3倍、4倍时，学生不但能快速地运用几个△△△来摆，而且在摆△是○○○的6倍时，他们已能脱口而出就是摆6个△△△。此时，通过操作，学生已经完成了在“谁是谁的几倍”这一已有结构上的自主建构，沟通了“谁是谁的几倍”与“求一个数的几倍是多少”之间的内在联系。操作，让他们真正从他主走向了自主。但我们也不可否认，有时操作的结果往往与预设目标的达成有所出入，甚至相去甚远。其原因是多方面的。在运用操作让学生基于已有的知识结构进行自主建构时，就应着重注意两个方面，其一，由于每个学生原有的认知结构各不相同，他们的生活经验、思维习惯也因人而异，在课堂学习中也总在进行着个性化的、有规则的自由运动。因此，充分了解学生已有的认知结构，深入剖析教材内容的相互联系，合理选择操作的方式与时机，是促进学生在操作中自主建构的关键。例如，一些始发性的知识，大部分以学生的生活经验为基础，这在第一学段，尤其是一年级教材中更为明显。此时，我们应充分了解学生的已有经验，选用他们喜闻乐见，又符合他们年龄特征的操作方式，让他们在操作中经历生活经验转化为数学知识的过程，在自主的数学化过程中主动建构。其次，在学生操作过程中，教师适时适度的暗示（如语言、动作等的暗示）、指导（如类比、推理、归纳、总结等的适时点拨）是让学生在操作中走向自主建构的重要组成部分。

二、为发展学生的数学语言而操作

数学学习并非外部行为的简单重复。儿童在数学上的发展也不像影子对于投影物体的追随那样追随于教师的教学。数学语言的运用，将直接导致学生自身行为模式的改变，即形成由原来的“刺激——反应模式”向“感知——反思——重组——提升”的高级心理行为的改变。这一过程对学生认知结构的充实与丰满更为重要。因此，在操作过程中基于学生自身经验与个性发展的数学语言，更有利于他们清晰地、有条理地表述自己的猜测，表达自己的思考过程，并合乎逻辑地讨论和质疑，从而进一步完善他们的数学素质。

【案例2】轴对称图形（苏教版小学数学三年级上册）

学习轴对称图形的概念后。

师：我们学过的图形有哪些？

生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆。

师：这些图形中哪些是轴对称图形？分别有几条对称轴？可以用你们自己准备的图形操作一下。

学生操作后交流。

生1：三角形不是轴对称图形，圆是轴对称图形，有无数条对称轴……

生2：我有不同意见，三角形是轴对称图形，有1条对称轴。

生3：不对，三角形不是轴对称图形。

师：有不同意见，好，关键是以理服人。你们用自己的方法来证明自己观点成立的理由。

生1：出示，我从不同的方向对折，两边都不能重合，所以就不是轴对称图形。

生2：出示，我的是个等腰三角形，对折后左右能重合，所以它是轴对称图形，它有一条对称轴。

师：都有道理，还有谁想说？

生3：那如果是等边三角形的话，就应该有3条对称轴。

师：做个折折看。

学生操作，得出有3条对称轴。

师：那三角形到底是不是轴对称图形？

生4：我觉得，如果是等腰三角形和等边三角形，就是轴对称图形，对称轴分别有1条和 3条。如果是任意三角形，就不是轴对称图形。

师：谁再来讲一讲，三角形到底是不是轴对称图形？

生：应分情况考虑。

师：讲得很好，那刚才两位同学犯了怎样的错误？

生：没有考虑全面。

……

个体单一的内部思维后，语言的表述往往存在偏颇，很多时候甚至词不达意。操作的介入，则可使语言的条理化、具体化更到位，指向性更明确。上述案例中，操作与语言的互为补充，既让学生看清了知识的本质（什么样的三角形是轴对称图形），更让学生认识到了思维的误区（以偏概全），同伴间的相互评价与补充，促进了学习个体对原有思维过程的回顾与反思。二次操作，让学生的思维走向了理性，也使语言的组织更具逻辑性。因此，在运用操作进行数学学习时，教师应时时注意为学生创造说的机会，让他们说做法、说想法、说思路、说结论，鼓励相互间的质疑问难，讨论求证，让语言在操作中完善，让思维在语言中深刻。同时，操作是学生基于已有经验进行的，因而操作后的语言表述不能在“文字上孜孜以求”，此时更应鼓励学生用感悟后的“儿童”语言来描述明白而不出科学错误的个性化理解，用自己的语言来描述领悟了的有关数学知识、数学思想、数学方法。因为，只有在学生自由的谈论中，我们才能更清晰地看到学生基于操作时的思维方向、相应的活动对他们产生了怎样的作用和影响；也只有通过学生自由的数学谈论，才更便于让学生学会根据一些线索，通过尝试操作后保留有用的去掉不适的；也只有通过学生自由的数学谈论，才有利于进一步完善学生的思维，规范学生的数学语言。

三、为生成学生的数学智慧而操作

数学不仅仅是传授知识，更在于培养学生的数学智慧。学生的数学智慧包含着对知识理解、接受时的敏锐程度和创新意识，以数学的眼光、数学的思想方法审视和处理生活中的问题等多个方面，因此，类比、归纳、联想、猜测、推理、验证等能力应是其重要的组成部分，学生进行数学操作时，总是依据已有的知识、经验和习惯在思索、探究。这一看似平淡、寻常的动作，往往充溢着学生的聪明才智，操作中的真知灼见，总能闪射学生的智慧之光。

【案例3】长方体的表面积（校本活动课）（苏教版小学数学六年级上册）

通过观察讨论，先得出包装两盒磁带最节约包装纸的方法。

师：如果要包装4盒磁带，你又能想出几种方法？其中哪一种方法最节约包装纸呢？

学生开始小组学习，充分讨论后动手操作（磁带的几种拼法）。约10分钟后进行全班交流。

小组1：我们有四种不同的包装方法，每拼出一种就算一次所用包装纸的面积，通过比较得出结论。

小组2：我们拼出了六种呢！也是通过计算比较得出最节约包装纸的方法。

小组3：其实不用每种都算出表面积。要使包装4盒磁带所用的包装纸最少，就要使它们减少的面积最多，只要先估计一下，计算出较节约的几种进行比较就可以了。

师：那我们能不能把这六种包装方法分分类呢？

思考片刻后，学生按减少面的个数把六种包装方法分成了两组（如图1）：

比较得出每组中表面积最少的一种，再把两组中表面积最少的包装方法抽取出来，通过计算得出结论。

……

从上面的案例可以看出，学生开始用的方法是零乱的，思维是无序的，每种摆法得出后都要通过数据计算得出面积。要用多少包装纸，按照这样的趋势发展，摆法上肯定会有遗漏，能否得出包装纸最节约的方法很可能是一个疑问。但随着操作的不断深入，学生的操作方式有了质的变化，他们通过比较、归纳，已能悟出每次重合的面积越大则减少的面积就越多，也就越节约包装纸。操作中理性的思考，激发了他们智慧的生成。当然，为生成学生的数学智慧而操作时，如果教师以自身的实践经验过早地干涉学生，则易形成掩盖而不是揭示和沟通学生的最近发展区与现实知识之间的关系，暗示与指导则将成为创新方式与创新精神的束缚与扼制。其次，学生通过再创造获得新经验后，往往会惊喜于发现的激动，而在新经验中迷失。由此，不论学生获得怎样的操作结果，都要引导学生进行操作后的评估，让他们在反思中对方法进行提升，给他们批判的精神，让操作真正为生成学生的智慧而存在。

学生是一个个鲜活的个体，在操作活动的过程中给予学生动手的机会、思考的空间、创新的余地，就给予了数学课堂一种蓬勃的生机。凸显操作的价值，定会有效地促进学生的发展。