tanθ和 μ的关系是分析斜面问题的抓手

魏谦

一、基本模型

如图1所示，一质量为M的斜面体放在水平地面上，另一质量为m的物体放在斜面上，由于物体m与斜面体M间的动摩擦因数μ的不同，物体m在斜面上运动的情况也会不同，斜面体受到地面的摩擦力情况就不同.

二、分类分析

1.物体m在斜面上恰好匀速下滑

物体匀速下滑时，受力情况如图2所示，易知重力沿斜面方向的分力与摩擦力相等，即：

此时放在地面的斜面体受力情况如图3所示.

由于物体对斜面的摩擦力的水平分力是：

而此时物体对斜面的压力FN的水平分力是：

由于物体对斜面的摩擦力的水平分力和物体对斜面的压力FN的水平分力是相等的，所以斜体没有向左右运动的趋势，地面对斜面体没有静摩擦力.

此问题也可以这样理解：由于物体处于匀速运动状态，受到的三个力平衡，所以斜面对物体的作用力（斜面对物体的支持力和摩擦力的合力）与物体的重力平衡，可以得出斜对物体的作用力方向竖直向上.由牛顿第三定律可知，物体对斜面体的作用力是竖直向下的.由于斜面体只受到竖直方向上的力的作用，故没有左右运动的趋势，不受地面的摩擦力.

2.物体m在斜面上加速下滑

物体加速下滑时受力与上述图2相似.只不过此情况下，重力沿斜面方向的分力大于斜面体对物体的摩擦力，即：

由于物体对斜面的摩擦力的水平分力小于物体对斜面的压力FN的水平分力，所以斜体有向右运动的趋势，则此时，地面对斜面体有向左的摩擦力.

此问题也可以这样理解：由于物体在斜面体上处于加速运动状态，所以斜面对物体的作用力（斜面对物体的支持力和摩擦力的合力）与物体重力的合力方向沿斜面体向下，可以得出斜面对物体的作用力方向偏向竖直方向的左上方.由牛顿第三定律可知，物體对斜面体的作用力方向偏向竖直方向的右下方.由于斜面体受到偏向竖直方向右下方的力的作用，故斜面体有向右运动的趋势，所以斜面受到地面的摩擦力方向向左.

3.物体m在斜面上减速下滑

物体在斜面上减速下滑时的情况与加速下滑的不同点是：μ>tanθ

此时，由上述的分析易知：地面对斜面体有向右的摩擦力.同样：此问题也可以这样理解：由于物体在斜面体上处于减速运动状态，所以斜面对物体的作用力（斜面对物体的支持力和摩擦力的合力）与物体重力的合力方向沿斜面体向上，可以得出斜面对物体的作用力方向偏向竖直方向的右上方.由牛顿第三定律可知，物体对斜面体的作用力方向偏向竖直方向的左下方.由于斜面体受到偏向竖直方向左下方的力的作用，故斜面体有向左运动的趋势，所以斜面受到地面的摩擦力方向向右.

三、应用实例

例1 如图4所示，粗糙的斜面体M放在粗糙的水平面上，物块m恰好能在斜面体上沿斜面匀速下滑，斜面体静止不动，斜面体受地面的摩擦力大小为F1；若用平行力于斜面向下的力F推动物块，使物块加速下滑，斜面体仍静止不动，斜面体受地面的摩擦力大小为F2；若用平行于斜面向上的力F推动物块，使物块减速下滑，斜面体仍静止不动，斜面体受地面的摩擦力大小为F3.则（ ）.

图4

A.F2>F3>F1 B. F3>F2>F1

C.F2>F1>F3D.F1=F2=F3

分析 本题中所涉及到的问题属于μ=tanθ的类型，三个图中物体对斜面体的压力没变，均为mgcosθ，所以摩擦力的大小和方向均没有变化，由于三种情况下，物体沿斜面方向受力不同，运动的性质有区别，图4的1中仍匀速下滑，图4的2中加速下滑，图4的3中减速下滑，由牛顿第三定律可知，斜面受到的力的情况，三个图完全相同，且此情况下地面对斜面体都没有摩擦力作用.故F1=F2=F3=0.

答案选D.

拓展 与此问题类似的情况也经常出现，前提还是一个粗糙的斜面体放在粗糙的水平面上，物块恰好能在斜面体上沿斜面匀速下滑，斜面体静止不动.在物块下滑过程中，不论在物体上施加一个任意方向的力，只要物块仍能沿斜面图5下滑，地面对斜面体的摩擦力均为0.如图5所示，外力的作用改变了物块的运动状态，同时也改变了物块对斜面体的压力，同时斜面体对物块的摩擦力也成比例地发生变化，斜面体受到的物块的压力与摩擦力的水平分力大小仍然相同，方向相反.所以地面对斜面体没有摩擦力作用.

小结：本类题的题设条件已明确，物块在没有受到外力作用时，在斜面上匀速下滑，说明μ=tanθ，只要物块在斜面上仍然下滑，则斜面体受到物块的压力和摩擦力成比例变化，但斜面体受地面的摩擦力为0，此时斜面体受到的支持力也会发生变化.外力的作用会改变物块的运动状况.

图6例2 如图6所示，斜面体A静止放置在水平地面上.质量为m的滑块B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面体表面向下运动，当F1方向水平向右，F2方向沿斜面体的表面向下时斜面体受到地面的摩擦力方向向左，在作用力改变的过程中斜面体A始终保持静止.则下列说法中正确的是（ ）.

A.若同时撤去F1和F2，滑块B的加速度方向一定沿斜面向下

B.若只撤去F1，在滑块B仍向下运动的过程中，A所受地面摩擦力的方向可能向右

C.若只撤去F2，在滑块B仍向下运动的过程中，A所受地面摩擦力的方向可能向右

D.若只撤去F2，在滑块B仍向下运动的过程中，A所受地面摩擦力不变

分析 不论滑块B受力如何.滑块B对A的作用力只是压力的摩擦力，由于斜面体A受到地面的摩擦力方向向左，基于上述的“二、2.中物块加速下滑”中分析，易知μ

本题的核心是由题设条件“斜面体受到地面的摩擦力方向向左”得出μ

例3 如图7所示，一个物块在斜面处于静止状态，现给物块提供 一 个 初 速 度，物块沿斜面下滑时，斜面体受到水平地面的静摩擦力为f1 ；现给物块施加一垂 直 斜 面 向 下 的 力 F，此时物块沿斜面下滑时，斜面体受到水平地面的静摩擦力为f2；则下列说法正确的是（ ）.

A.f1 和f2 可能相同

B.f1和f2的方向一定相同

C.f1的大小可能小于f2的大小

D.f1和f2的方向可能相反

分析 由题设可知，物块静止于斜面体上，则物块与斜面体间的动摩擦因数μ≥tanθ，当物块有一初速度沿斜面下滑时，有两种可能，一是μ=tanθ时，物块沿斜面匀速下滑，另一可能是μ>tanθ时，物块沿斜面减速速下滑，由本文中的分类分析易知，匀速下滑时，两种情况下，地面对斜面体均无摩擦力，则此时f1和f2均为0，则A正确；当物块沿斜面减速下滑（μ>tanθ）时，地面对斜面体的静摩擦力方向均向右，则B正确，此情况下，物块对斜面体压力的水平分力小于物块对斜面体摩擦力的水平分力，F作用后，物块对斜面体的压力变大，这两个水平分力的差值变大了，此时f2大于f1，则C正确.不论F如何，物块下滑要么是匀速下滑，要么是减速下滑，f1和f2的方向不可能相反，则D错.

小结：本题中能抓住物块静止在斜面上时，μ≥tanθ是解题的关键.此外匀速和减速下滑的两种种可能性的讨论要注意逻辑关系，问题就迎刃而解了.

综上所述，对斜面和物块组合体相关问题的分析，结合题设的相关条件，找出tanθ和 μ的关系.以tanθ和 μ的关系为抓手，对问题进行分析是一条有效途径.