数列问题的分析与研究

叶犇宇

摘要：数列问题，不仅对高中数学来说举足轻重，是高考数学压轴大题，更是进入大学后高等数学级数问题的基础。数列问题，可以同时蕴含了递归、放缩、因式分解、数学归纳等数学思想方法，多种思想掺杂在一起，导致数列问题难度很大，同时解法百花齐放。通过3个例题，从易到难分别介绍函数与数列问题的求解、数学归纳法在数列中的应用、欧拉级数在数列中的应用，并对数列问题的解法进行总结，提出针对数列问题的想法。

关键词：数列 欧拉级数 研究与应用

数列问题，可以和很多高中数学知识点交叉，如数列与函数、方程相结合问题，数列与不等式相结合问题、数列和极限相结合问题，等等。本文主要从三个方面入手：函数与数列问题、数学归纳法在数列中应用、欧拉级数在数列中的应用，分别给出一个例题，求解之后对这几个方面的数列问题总结归纳，提出针对数列问题的想法。

一、函数与数列问题

对于高中数学来说，数列是高考的难点和重点，同时，函数问题也是高考躲不过逃不过的难题，对于函数与数列知识点交叉的问题来说，如何寻找有效的突破口，是解这类问题的关键所在。

思路分析：函数与数列知识点交叉的问题，通常会给出函数的表达式，大部分此类题型都会已知函数与数列元素间关系，某些不给出具体关系，但通过简单的代入递推也可以求出关系，如上题。函数只是一个工具，它的作用就是求出数组元素间的关系（一般是an-1与an之间的关系），再通过求出的数列元素间的关系，求出题目问题所需要求的数列表达式。……