一类具有调和曲率黎曼流形刚性定理的推广

储亚伟，李雯雯，黄映雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

一类具有调和曲率黎曼流形刚性定理的推广

储亚伟，李雯雯，黄映雪

（阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

通过建立任意黎曼流形零迹黎曼曲率张量模长平方的拉普拉斯公式，在具有平行Cotton张量、正Sobolev常数和负数量曲率的条件下，证明了完备非紧黎曼流形的一个刚性定理，推广了相关结果。

刚性；调和曲率；Cotton张量；推广

设(Mn,g)(n≥3)为一n-维黎曼流形，其黎曼曲率张量、Ricci张量、Weyl曲率张量及数量曲率分别记为 Rm={Rijkl}，W={Wijkl}，Rc={Rij}和 R，则Rm有如下的正交分解：

它与Weyl张量之间的关系满足

本文使用爱因斯坦求和约定。

若(Mn,g)的Cotton张量消失，即W的散度为零（见（1）式），则称(Mn,g)具有调和Weyl张量。更一般地，若Cotton张量C的协变导数为零，即∇C=0，则称流形(Mn,g)具有平行的Cotton张量。事实上，该条件不但是“Weyl曲率调和”条件的推广，也弱化了常见的曲率条件——调和曲率，即Rm的散度为零。它们之间的关系如下[1]：Rm调和⇔Rc是Codazz型张量⇔W调和且R为常数⇒C平行。

因此，常曲率空间、爱因斯坦流形、调和曲率流形及具有平行Ricci张量的流形都是平行Cotton张量黎曼流形的例子，反之不真。于是，探求合适的曲率条件，使得黎曼流形是常曲率空间或爱因斯坦流形是微分几何的重要研究课题之一。

对于具有调和曲率的紧致黎曼流形，1996年，在R＞0的条件下，Hebey-Vaugon[2]证明了该类流形n的L2-型刚性定理。2011年，Kim[3]研究了具有调和曲率和R≤0的完备非紧流形的刚性问题，在具有正Sobolev常数的假定下，证明了如下定理：

定理[3]1 设(Mn,g)为具有调和曲率、正Sobole常数和负数量曲率的n-维（n≥8）完备非紧黎曼流形。假定且存在常数C1＞0，使得若为常曲率空间,其中为零迹Ricci量。

使用零迹曲率张量及椭圆估计，付海平等[4]把上述定理推广为

定理[4]2 设(Mn,g)为具有调和曲率、正Sobolev常数和负数量曲率的n-维（n≥10）完备非紧黎曼流形，假定对所有有且存在常数C2＞0，使得若对所有都成立为常曲 率 空 间 ，其 中为零迹曲率张量。

本文将证明，上述定理2中的“调和曲率”可减弱为“平行Cotton张量”，即有如下推广：

定理3 设(Mn,g)为具有平行Cotton张量、正Sobolev常数和负常数量曲率的n-维（n≥10）完备非紧黎曼流形。假定对所有有且存在常数C2＞0，使得若对所有都成立为常曲率空间。

注1 由于具有调和曲率的流形一定具有常数量曲率和平行的Cotton张量，因此定理3推广了定理1与定理2。

注2 在引理1的证明过程中不难发现，定理3中“常数量曲率”的假定还可减弱为“数量曲率的Hessien为零”，即Hess R=0。

1 预备知识

设(Mn,g)(n≥3)为一n-维完备黎曼流形，在局部坐标系中，由Rm的性质易得：

当n≥3时，由（5）式易得

若Hess R=0，对任意整数 p∈{1,2,…,n}，根据张量S,C的定义及（1）式可得

因此，条件∇C=0等价于

对于给定的完备黎曼流形，其上的Sobolev常数Q(Mn,g)定义如下：

在紧致黎曼流形上，Q(Mn,g)的符号与数量曲率R的符号一致，且其下确界总可以达到。

2 定理证明

首先，我们计算零迹黎曼曲率张量模长平方的拉普拉斯：

引理1 设(Mn,g)(n≥3)为完备黎曼流形，则

证明 由R°m、|R°m|2的定义及（2）式知

根据第二Bianchi恒等式，得

结合（9）式可得

使用（2）式及Ricci恒等式，得

使用（2）式、（3）式，可由（11）式推出

其中，

把（12）式、（13）式带入（10）式，得

这正是引理1的结果。

其次，利用 ∇C=0及常数量曲率（或Hess R=0）的条件，结合（8）式可得

引理2 设(Mn,g)(n≥3)为具有平行cotton张量及常数量曲率（或Hess R=0）的完备黎曼流形，则

引理2的（14）式正是文献[4]的（10）式，相比之前的定理1、定理2及（10）式，引理2是在更为一般的条件下获得的。仿照定理2的证明过程，可以得到定理3（细节参见文献[4]中定理1.6的证明）。

注3 对于具有非负数量曲率或紧致黎曼流形的情形[5,6]，相关的研究将在另一篇论文中给出。

[1]Besse A L.Einstein manifolds[M].Heidelberg : Springer-Verlag,1987.

[2]Hebey E,Vaugon M.Effective pinching for the concircular curvature[J].The Journal of Geometric Analysis, 1996,6(4):531-553.

[3]Kim S.Rigidity of noncompact complete manifolds with harmonic curvature[J].Manuscripta Mathematica,2011,135(1/2):107-116.

[4]Fu H P,Xiao L Q.SomeLprigidity results for complete manifolds with harmonic curvature[J].Manuscripta Mathematica,2015,135(1-2):107-116.

[5]Fu H P.On compact manifolds with harmonic curvature and positive scalarcurvature[J].Mathematics, 2015,62(1):79-125.

[6]Chu Y W.Complete noncompact manifolds with harmonic curvature[J].Frontiers of Mathematics in China,2012,7(1):19-27.

Generalization of a class of rigidity theorem for Riemannian manifolds with harmonic curvature

CHU Ya-wei,LI Wen-wen,HUANG Ying-xue
(School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui 236037,China)

In this paper,by establishing the Laplacian of the norm square of the trace-free curvature tensor for any Riemannian manifold,a rigidity theorem for complete noncompact Riemannian manifold with parallel Cotton tensor,positive Sobolev constant and negative scalar curvature was prvoed,which extends the corresponding results.

rigidity;harmonic curvature;Cotton tensor;generalization

O174.5

A

1004-4329（2017）01-001-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-001-03

2016-08-19

国家自然科学基金项目（11371330）；安徽省教育厅自然科学基金重点项目（KJ2014A196）资助。

储亚伟（1977- ），男，博士，副教授，研究方向：几何分析。