数值处理奇性奇摄动边值问题

张蕊蕊，陈松林

（安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243032）

数值处理奇性奇摄动边值问题

张蕊蕊，陈松林*

（安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243032）

采用了数值积分方法求解带有奇性的奇摄动边值问题，将原边值问题的一般方程近似转换为带有极小偏差的一阶微分方程，利用梯形公式得出三对角方程组,再采用修正的方法对奇性进行处理，得出新的三对角系统，最后利用追赶法解出三对角方程组并验证该方法的一致有效性.

两点边值；数值积分；奇点；边界层；一致有效性

奇摄动问题广泛应用在科学与工程的各个领域，而近年来,奇异奇摄动问题是应用数学家越来越感兴趣的领域，关于奇异奇摄动问题的相关研究与文献资料并不多。

Kadalbajoo和Reddy介绍了一种通过偏差求解奇异摄动边值问题的计算方法[1],J.Ras-hidinia等得出数值方法求解两点边值问题[2],BSL.Soujanya和G.K.Phnaeendra在前人的基础上提出了一种数值积分方法去解奇性奇摄动两点边值问题[3]。

本文采用数值积分方法处理带有双奇性的奇摄动两点边值问题；第二部分，分别从左边界层与右边界层对双奇性奇摄动边值问题的数值处理方法进行讨论；第三部分，通过举例证明本文所采用的方法是一致有效的。

1 数值积分方法

考虑具有双奇性奇摄动两点边值问题

其中,小参数0＜μ＜＜1,α,β是有限常数,f(x)是充分光滑的函数,记

1.1 左边界层问题

设k1＞0,在区间(0 ,1)上，取一个小的正常数0＜δ＜＜1，假设对y"(x)在x的δ邻域内按泰勒级数展开，有

将（3）代入方程（1）中，则得到带有偏差δ的一阶常微分方程去近似二阶微分方程(1)

其中

为了进行数值求解,先将区间(0 ,1)等分为N个子区间，节点步长h=1/N，xi=ih,i=0,1,…,N.在区间上对(4)进行两边积分

利用梯形公式近似估计(5)式中的积分得

线性插值逼近y'(x)，可得

结合（7）与（6），我们可得出方程组

在式（8）中，存在N-1个方程和N+1个未知数，因此再结合（2）可以求出双奇性奇摄动边值问题的解yi,i=0,1,…,N.

1.2 右边界层问题

设k1＜0，不难推知,奇摄动问题(1)和(2)在x=1的邻域处存在边界层。对y"(x)在x的δ邻域内按泰勒级数展开，有

将（9）代入（1），则二阶微分方程可用带有偏差δ的一阶常微分方程去近似，得

再利用梯形公式近似估计积分，得

再由泰勒级数展开及线性插值逼y'() x，则有

结合（12）与（13），经计算，我们可得出方程组

但是，在i=1时Ei没有意义，方程（14）在x=0附近具有奇性。因此，前面所获得的差分格式系数也具有奇性。为了解决此问题，我们将用改进的数值方法对奇点作以下处理：在奇点x=0处，对方程（1）运用洛必达法则，可得方程

对y"(x)在x的δ邻域内按泰勒级数展开

将（16）代入（15），可得

可解得带有右边界层的双奇性奇摄动边值问题的解yi,i=0,1,…,N。

2 数值仿真

2.1 考虑奇摄动问题的左边界层问题

2.2 考虑奇摄动问题的右边界层问题

从上述结果来看，所得的近似解刻画了问题的右边界层行为，然而由于方程的奇性较大，使得误差相对地也变大了。

[1]Kadalbajoo M K,Reddy Y N,Numerical solution of singularly perturbation problems via deviating arguments[J], Applied Mathematics and Computation, 1987,21:221-232.

[2]Rashidinia J,Mohammadi R,Jalilian R,The numerical solution of non-linear singular boundary value problems arising in physiology[J],Applied Mathematics and Computation,2007,185:360-367.

[3]Reddy Y N,Reddy K A.Numerical integration method for general singularly perturbed two point boundary value problems[J].Applied Mathematics and Computation,2002,133(2/3):351-373.

[4]Srinivasacharya D,B.S.L.Soujanya G,Phnaeendra K. Numerical integration method for singular-singularly perturbed two point boundary value problems[J],Procedia Engineering,2015,127:545-552.

[5]颜庆津．数值分析[M]．4版．北京：北京航天航空大学出版社，2006．

[6]孙志忠，吴宏伟，袁慰平，等．计算方法与实习[M]．5版．南京：东南大学出版社，2011．

[7]Mohanty R K,Urvashi A.A family of non-uniform mesh tension spline methods for singularly perturbed two point singular boundary value problems with significant the numerical first derivatives[J],Applied Mathematics and Computation,2006,172:531-544.

[8]Mohanty R K,Jha N,Evans D J,Spline in compression method for the numerical solution for singularly perturbed two point singular boundary value problems [J],International Journal of Computer Mathematics, 2004,81:615-627.

Numerical treatment of singular-singularly perturbed boundary value problems

ZHANG Rui-rui，CHEN Song-lin*
(School of Mathematics&Physics,Anhui University of Technology,Ma’anshan Anhui 243032,China)

A numerical integration method is used to solve the singular-singularly perturbation boundary value problem. General equation of the original boundary value problem is transformed to an asymptotically equivalent first order differential equation with a small deviating argument.Tridiagonal system was obtained by applying Trapezoidal formula on the first order differential equation.Using the modified method to deal with the boundary value problem of singularity.Finally,we solved the tridiagonal equations by the catch-up method and verified the validity of the proposed method.

boundary value;numerical integration;singular point;boundary layer;uniformly valid

O175.6;O175.8

A

1004-4329（2017）01-004-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-004-04

2016-11-15

张蕊蕊(1990- )，女，硕士生，研究方向：奇异摄动理论。

陈松林(1964- )，男，硕士，教授，研究方向：奇异摄动理论。Email：slchen@ahut.edu.cn。