妙用整式乘法公式进行简便计算

张生财

【摘要】巧妙的运用整式的乘法公式（平方差公式，完全平方公式），可以使学生简化运算，提高运算速度和准确率，培养学生的求简意识，为后续所学内容打下坚实的基础。

【关键词】妙用 乘法公式 简便运算 提高

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）12-0246-02

在《整式的运算》一章的教学中，有部分学生常常对乘法公式（平方差公式，完全平方公式）理解不透，掌握不够，运用时很容易混淆。为了能很好地掌握两个公式的区别，并能巧妙的利用乘法公式（平方差公式，完全平方公式）进行简化某些整式的运算，培养学生的求简意识。下面谈一谈笔者的一些看法：

一、掌握乘法公式

1. 完全平方公式

表示：（a±b） 2=a 2±2ab+b 2

对于这个公式概括为口诀为：两项的和（差）的平方，等于首平方，尾平方，首尾2倍夹中央。

（1）简便运算

例1.计算：（1）999 2（2）100.1 2

解析：本题中的999接近1000，100.1接近100，所以把它们可以写成两个数的和或差的形式，然后运用完全平方公式进行计算。

即：（1）999 2=（1000-1） 2 （2）100.1 2=（100+0.1） 2

例2.计算：（x-2y+1）2

解析：本题如果采用多项式的乘法，计算会比较复杂，若利用完全平方公式展开，则计算比较简便。

点拨：本题的关键在于理解完全平方公式中的a，b也可以是一个代数式，利用整体思想，这里把第一二两项看作一个整体，可以写成〔（x-2y）+1〕2利用完全平方公式展开；也可以把第一三两项看作一个整体，写成〔（x+1）-2y〕2的形式；或者把后两项看作一个整体写成〔x-（2y-1）〕2的形式。

例3：已知a- =，求：（1）a2+ （2）a4+

分析：对于这类题型学生很容易想到的方法是先求出a，然后代入计算。但以学生目前所学的知识是没有办法求出a的，所以可以利用完全平方公式来进行计算。

（1） a2+ 可由式子a-=两边平方得到

（2） a4+ 可由式子a2+=两边平方得到

解：∵a-=

∴a2+ = （a-）2 +2=（）2+2

a4+= （a2+）2-2=（）2-2=

2. 平方差公式

表示：（a+b）（a-b）=a 2–b 2

对于这个公式概括为口诀为：两项的和与差的乘积等于这两项的平方差。

（1） 直接运用平方差公式

例4.计算：

①103×97 ②118×122

分析：本题中的103和97都与100相差3，118和122都与120相差2，故可以写成两个数的和与差的形式，然后运用平方差公式计算。

即：①103×97=（100+3）（100-3）=1002-32

②118×122=（120-2）（120+2）=1202-22

（2）逆用平方差计算：

例5.计算；1002-992+982-972+…+42-32+22-12

分析：本题中相邻两数是平方差的形式，因此把相邻的两项结合在一起便可逆用平方差公式进行计算。

即：原式=（1002-992）+（982-972）+…+（42-32）+（22-12）

=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=199+195+…+7+3

（3）构造平方差公式

例6.计算：（2+1）（22 +1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

分析：若原式乘以（2-1），即乘以1，原式的值不变，可以利用平方差公式逐步计算。

即：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216 +1）（232+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（216-1）（216+1）（232+1）

=（232 -1）（232+1）

=264-1

二、灵活运用公式

1.混用运用公式

例7：计算

（1）（x+y+z）（x+y-z） （2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）

分析：本题是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，有些项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。

即：（1）（x+y+z）（x+y-z）

=[（x+y）+z][（x+y）-z]

= （x+y）2-z 2

（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）

= [2x-（y-3z）][ 2x+（y-3z）]

=（2x）2+（y-3z） 2

2.变形应用公式

熟练运用完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键。

例8：已知实数a，b满足（a+b）2=10，ab=1求下列各式的值

（1）a2+b2 （2）（a-b） 2

分析：本题是典型整式求值问题，若按常规思维把a，b的值分别求出来，非常困难，我们可以运用完全平方公式的变形式就能解决这类问题。

即：（1）a2 + b2 =（a + b）2-2ab

（2）（a-b） 2=（a + b）2-4ab

总之，乘法公式的应用比较广泛，是后续所学内容的必备基础，不仅对学生简化运算，提高运算速度和准确率有很大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基礎，因此要让学生掌握乘法公式（平方差公式，完全平方公式）的巧妙运用方法，提高运算的能力。