一类带记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破时间下界估计

胡文燕,柴树根

(1.晋中学院 数学学院，山西 晋中 030600;2.山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

一类带记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破时间下界估计

胡文燕1,柴树根2

(1.晋中学院 数学学院，山西 晋中 030600;2.山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

考虑如下具有记忆项的非线性Petrovsky方程：

非线性Petrovsky方程；记忆项；正的初始能量；爆破时间；下界估计

考虑如下带记忆项的非线性Petrovsky方程的初边值问题：

(※)

对于不带记忆项的Petrovsky方程：

(1)

文献[1]证得当m

因为当爆破发生时，精确的爆破时刻往往是无法估算的，从而研究爆破时刻的上下界就变得非常重要。很多学者已经对拋物型方程的爆破时刻的下界估计做了大量研究，并得出了相应的结果[4-10]。文献[11]对如下不带记忆项的Petrovsky方程进行了研究：

(2)

并给出了该方程在正的初始能量下解的爆破时间下界估计。

对于具有记忆项的Petrovsky方程：

(3)

文献[12]研究了其解的局部存在性，给出了当初始能量有上界时解在有限时间内会爆破的结论。

本文在前人工作基础上，进一步对具有记忆项的Petrovsky方程解的爆破时间进行研究，并给出了在正的初始能量下解的爆破时间的下界估计。

1 预备知识

考虑Lebesgue空间Lp(Ω)和Sobolev空间Hq(Ω)，对于不增的松弛函数g(t)，假设如下：

(I1)g：R+→R+满足：

(4)

且

(5)

g′(t)≤0,t≥0。

(6)

(7)

(8)

ut∈C([0,T];L2(Ω))∩Lq(Ω×(0,T))；

utt∈L∞((0,T);L2(Ω))。

证明 可以利用Faedo-Galerkin方法，证明其解的存在性和唯一性(参考文献[1])。

(9)

其中C为Sobolev嵌入的最佳常数。

再由Poincaré不等式可得

证毕。

定义初边值问题(※)的能量函数E(t)如下：

(10)

其中(g。

引理1.2[12]假设g,p,q分别满足(I1)，(I2)，(I3)，且u(t)为初边值问题(※)的解，那么

证明 将初边值问题(※)的方程两边同乘以ut，并在Ω上积分，运用格林公式，可得