由『面积是从哪里来的』引发的思考

◇杨 芳

由『面积是从哪里来的』引发的思考

◇杨 芳

一 现象

笔者最近听了“面积的认识”这节课。临下课时，教师让学生谈谈自己的收获和疑惑。这时，有一位同学提出了这样的问题：“老师，我想问，面积是从哪里来的？”该教师解释说：“物体表面上都有面呀，如课桌面、数学书上的面。”同时，让该同学跟着老师再次摸一摸课桌上的面、书本上的面……课后，我随即问这位同学这样一个问题：“你知道什么是面和面积吗？”该同学用同样的动作指指课桌上面的面，示意这就是面和面积。当我提出“你能用笔画一个图形来表示该图形的面吗”时，该同学却不知所措。于是，我又随机问问旁边的几位同学，他们都能用笔画出不规则的封闭图形。由于此时的“框里”和“框外”颜色都是白的，学生便不知道如何来表达“面”了。看来，通过这一课的学习，学生都知道面是用线围成的，但对“面”，尤其是“面积”的本质的认知，还仅仅停留在表象的层面，脱离不了具体物体或图形的支撑，对数学中抽象的“面”的概念还没有建构起来。

二 反思

“面积的认识”一课，大部分教师都是从“面”和对这些“面”大小的直觉比较入手，来认识“面”和“面积”的。这样，学生能充分感受数学来源于生活，“面”和“面的大小”（面积）是具体的、可感知的。从问题情境中抽象出“面”，并通过开展“图形涂色、描边线比赛”等游戏活动，学生能形象地感知“面积”和“周长”的不同，从而建构起“周长”是“线”的长度、“面积”是“片”的大小的概念表象。从实际教学来看，这种思路简便易行，教学环节流畅。可是，为什么一节课下来，学生对“数学中的面”还这么陌生呢？

细细琢磨之后，觉得有些问题值得深思。比如，这样安排，在学生的头脑中易于产生有感官刺激的实物存在的“面”的表象，而难以形成抽象的“数学中的面”，学生对“面积”的认识只是停留在实物的哪个面大些、哪个面小些的相对意义上，并没有指向“面积”的本质意义。

提起“面积”这一概念，很容易使人联想起具有面积的实物，如桌面、硬币的上下面或侧面等，它们虽然都具有“面积”的本质属性，有面、有大小，但并不是“面积”本身。数学中“面积”一词，是所有诸如教科书封面的大小，长方形、圆形所围成的面的大小等的一个抽象的总称。实际上，所谓“面”已经不是实际存在的东西，而是数学上的抽象，它是没有厚薄、只有大小的，“面”的大小（是一个数）就叫作“面积”。但在实际的数学课堂教学中，由于数学概念的掌握依赖于学生的知识基础和认知经验，所以，学生所理解的概念的内涵与外延会随着学生学习水平的提高而发生变化。就拿“面积”这一概念来说，不同学段的学生对“面积”的理解会有所差异。

案例中学生虽然形象地感知了“周长”和“面积”的不同，建构起“周长”是“线”的长度、“面积”是“片”的大小的概念表象，但有的学生可能不明白数学上的“面”从何而来，或者数学上的“面”是什么。学生的知识与经验存在断层。

因此，课后我不断思考：三年级学生学习面积的意义，有没有什么教学途径，可以让他们直观地感知“面”呢？怎样让学生发现、建构“面”的概念体系？如何有意识地让学生接触、领悟一些基本的数学思想方法？

三 实践

对“面”和“面积”的形成，直接从学生已有的平移与旋转知识经验出发，在动态中生成“面”，当学生初步感知什么是“面”和“面积”时，再回归到生活中，让学生找物体中的“面”，感知“面”在“体”上，体会“面”无处不在，这样，“面”从哪里来就不是空穴来风，而是有了落脚点。

（一）感知、直观操作生成“面”。

1.演示移“点”成“线”。

（1）请大家用动作比画一下什么是平移，什么是旋转。

（2）出示方格图，要求把图中的红点向上平移8厘米。

（3）要求把这个红点运动的路线用彩笔画出来，并说一说看到了什么。

（4）教师演示这个点斜着平移，并让学生说说看到了什么。

小结：点的平移能形成一条“线”。

2.平移线段形成“面”。

（1）再把这条8厘米长的线段，向右平移18厘米。这条线段移到了什么位置呢？（学生示意）

（2）用笔画出这条线段平移时留下的痕迹。想一想留下的痕迹是什么样子。

小结：线段平移，就像一把刷子慢慢往右边刷过去，留下的是一个长方形。

（3）教师相机拿出一把8厘米宽的排刷，从左到右在方格图上“刷”出一个长方形。

小结：线段的“平移”就形成了一个长方形的“面”。

（二）动手操作，感知“面”有大小，理解“面积”的意义。

1.要求学生在这个方格图上“刷”一个比这个长方形小的面，再“刷”一个比这个长方形大的面。

2.交流：各自“刷”出的面，分别可以看成是哪条线段平移“刷”出来的呢？

小结：这两个大小不同的长方形的“面”分别是其中一条长或宽平移而成的。

3.比较黑板上和学生手中的方格图中的几个长方形的面的大小。

4.让同学相互说说谁画的图形的面比谁的面大（小）。

小结：每一个“面”自身的大小，在数学上就叫作它的面积。今天，我们一起研究“面积”。

5.找一找，摸一摸，说说你找到了哪些面。并比较它们面积的大小。

这样的安排，让学生在观察平移的“痕迹”中，感知“面”的动态生成过程，知道了什么是“面”，“面”从何而来，空间维度的变化、概念间的联系都在动态演示中一目了然，这样的教学简单、易行。课堂中当学生遇到困惑时，我们要“知根知底”，然后寻找解决问题的对策，发挥为师者的“引”和“导”作用。

（作者单位：安徽蚌埠市龙子湖区教体局教研室）