对“圆锥曲线”中化归思想的探讨及教学反思

筅江苏省南通市天星湖中学成倩文

对“圆锥曲线”中化归思想的探讨及教学反思

筅江苏省南通市天星湖中学成倩文

连续两年任教高三文理数学，都让我感觉到高三学生对解析几何解答题的无助和困惑，要么只会求曲线方程，第2问无从下手；要么解题中途卡住，下面无法解决；要么解题过程烦琐不知简化，白白浪费时间.为此笔者专门研究了2015年的几套高考卷，深有感触，发现多个省市在圆锥曲线这部分的试题，不约而同地考查了学生对条件转化与化归的能力，而这恰恰是大部分高三学生比较薄弱的部分.下面请跟随笔者针对部分真题进行探讨与赏析.

一、已知角相等问题

例1（全国课标卷Ⅰ第20题）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点.

（1）略；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

解：（1）略.

（2）假设存在符合题意的点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

设点P（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.

当b=-a时，k1+k2=0，则直线PM，PN的倾斜角互补.所以∠OPM=∠OPN.

故在y轴上存在点P（0，-a），使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

评注：本题第（2）问对∠OPM=∠OPN分析，再结合斜率，联系到此两角相等实则等价转化为直线PM，PN的倾斜角互补，从而利用k1+k2=0进行解题.

（1）略.

（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）略.

（2）因为点B与点A关于x轴对称，

所以B（m，-n）（m≠0）.

设N（xN，0），则

假设存在点Q满足条件，由∠OQM=∠ONQ，∠QOM=∠NOQ，得△QOM∽△NOQ，则，即=|xM||xN|.

评注：本题第（2）问同样也是两角相等，但却与直线斜率无关，本题应该利用相似三角形得线段比相等，从而转化为点M，N，Q坐标量的关系式，再结合第（1）问及对称性进行求解.