解题教学应引导学生自然合理地数学思考

何萍

[摘 要] 数学解题教学的核心目标是发展数学认知水平和元认知水平，解题教学应引导学生自然合理地数学思考：揭示“条件”与“结论”之间的内在联系；引导学生突破解题难点；注重通性通法，激发思维.

[关键词] 解题教学；元认知；思维；通性通法

“问题是数学的心脏. ”学习数学的核心是解题. 数学解题的认知过程如图1.

从图1可以看出，数学解题教学的核心目标是发展数学认知水平和元认知水平，学生的策略性知识在解决问题中显得尤为重要. 教学的切入点应该从引导学生自然合理的数学思考入手，通过设计合理的解题认知活动，让学生经历问题的感知、表征、结构分析、抽象概括、推理计算等认知活动和反思总结等元认知活动，提高分析问题和解决问题的能力.

揭示“条件”与“结论”之间的内在联系

“数学是思维的科学. ”解题的要义不是答案本身，而在于解题的思维过程. 直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明等一系列思维过程，都需要学生通过自己的独立活动来亲身经历，任何人都无法代替，“越俎代庖”的结果必然是学生思维独立性的丧失. 由于解题教学需要让学生充分经历问题的感知、表征、结构分析、寻找策略、形成计划、实施计划和反思总结等活动，所以解题教学必须要揭开命题“条件”与“结论”之间的内在联系，或探索通过“已知”可以导出怎样的“未知”. 这个揭示过程就是学生的思维认知过程. 通过充分暴露思维过程，寻找合适的解题思路.

例1 如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是______.

本题要揭示三个从“条件”到“结论”的过程. 第一，如何联想到“两点之间线段最短”；第二，如何转化为“两点之间线段最短”；第三，怎么判断此时的值是最小值. 建议教学过程可以设计如下问题进行启发.

问题1：由问题你能联想到哪些与它有关的定理？

问题2：怎样将两条线段的和转化为一条线段的长？

问题3：在点P从点A运动到点C的过程中，连接EP，PD，则EP+PD的大小是怎样变化的？

问题4：何时EP+PD取到最小值？最小值是多少？

通过上述问题展示结果背后的思维过程，启发学生思考；通过观察进行联想和变换，避免学生在平时的数学学习中只注重记忆知识的结论，而忽略认识的过程. 通过揭示“条件”与“结论”之间的内在联系，教会学生抓住事物的本质，从而消除在一定范围内形成的由经验固化造成的消极影响.

引导学生突破解题难点

有效的数学解题教学是基于学生认知水平的. 学生认知的最近发展区，是学生的知识生长点，也是数学解题教学的基准点. 根据学生的认知水平实施教学，能引起学生的共鸣，提升学生的兴趣，提升教学效能. 在解题教学中，教师的启发不是告知学生解题过程，而是帮助学生突破难点. 教师应当把自己放在学生的角度，努力理解学生的想法，然后提出一个问题或指出一个步骤，帮助学生跨过思维的“槛”，顺利地自主解决问题，获得成功的体验和有价值的解题经验.

例2 已知平行四边形ABCD的周长是28，过点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F，若AE=3，AF=4，求CE-CF的值.

本题的难点在于没有图形，需准确画出图形. 难在怎么分类、应分成几类. 如果画出的示意图不符合题意，怎么调整示意图？在实际教学中，出现了这样的情况. 第一，如图3，求得的CF=6-4<0，不符合线段实际情况. 第二，漏解了图4的解法. 第三，如何引导学生从图3调整到图5（含图4）. 基于以上难点分析，可设计解题认知活动，展开解题过程教学.

问题1：一个周长为28的平行四边形是确定的吗？

问题1用于启发学生体会一个周长为28的平行四边形是不确定的，四条边和四个内角都是变量.

问题2：请作出符合已知条件“已知平行四边形ABCD的周长为28，过点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F，若AE=3，AF=4”的图形.

對于问题2，根据条件可求得AD=6，AB=8，然后启发学生进一步认识当平行四边形内角变化时，所引起的△ABC和△ACD的形状变化，即会出现钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，导致这两条高线位置在四边形内部或外部，从而产生位置分类.

问题3：你能求出哪些线段的长？线段是否都符合实际情况？

学生可求出线段DE，CE，BF，CF的长. 此时教师要引导学生发现在图3下，CF的值不符合实际情况. 即当CF的值为负数时，说明BF>BC.

问题4：你怎么调整平行四边形的形状，使得BF>BC？

引导学生在图3的基础上将图形调整到图5，从而求解.

解答本题的分类讨论不是一蹴而就的，而是经历去伪存真的发现和循序渐进的突破后逐步形成的. 这种历经挫折后的调整与变通，并且自然而然想到的解题方法，渗透分类思想，是切合学生需要的自然解法.

注重通性通法，激发思维

做题是为了巩固概念，要让学生通过解题慢慢养成从基本概念和基本数学原理出发去思考问题. 而教师讲题是教给学生该如何思考，如何突破性地解决问题，从而拓展学生的思维能力，即教给学生“思维之道”. 所以，教师在讲题时首先要介绍思维上最经济、解题思路也可以“程序化”的“通性通法”，引导学生从题目所涉及的基本概念上寻找思路，激发思维，学会一题多解、一题多思、一题多变，从而培养学生思维的灵活性和创造性.

例3 如图6，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB，AC于点D和点E，连接DE，求证：DE∥BC.

首先引导学生思考“要证明两条线段平行，有哪些方法”，启发学生思考证明线段平行的一般方法；然后继续引导学生思考“在本题条件下，你有哪些可以证明DE∥BC的方法”，以启发学生的发散思维.

方法1：要证明DE∥BC，只需证明∠ADE=∠ABC，那么由∠ADE=∠C，∠ABC=∠C可得证.

方法2：要证明DE∥BC，只需证明∠BDE+∠ABC=180°，由∠BDE+∠C=180°可得证.

方法3：如图7，连接BE，要证明DE∥BC，只需证明∠DEB=∠EBC，由∠ABC=∠C得弧DC等于弧BE，则弧EC等于弧DB，得证.

方法4：如图8，连接AO，则AO⊥BC，要证明DE∥BC，只需证明AO⊥DE，则只需证明AO平分弧DE. 由∠B=∠C得弧DC等于弧EB，则弧BD等于弧EC，则AO平分弧DE.

……

以上多种方法，既为学生在思维上归纳了证明两条线段平行的一般方法，即证“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”“垂直于同一条直线”，又在证明过程中巩固了“圆周角定理”“垂径定理”“圆内接四边形”等知识，让学生充分体会到圆是基本图形，这些性质根据圆的对称性引入，是圆的轴对称性与旋转不变性具体化内容的体现. 同时，也是转化线段相等、角相等、弧相等的有效工具，是联系直线、曲线、角等不同图形的桥梁. 以此题为载体，向学生呈现了解题教学的一般性思路：对能证明某一结论的各种途径先做思考，激发学生的思维，再选择哪个能求，继而进一步求解.

章建跃博士说：“解题教学中，要使学生逐步养成从基本概念、基本原理及其联系性出发思考和解决问题的习惯，这是发展学生思维能力的正道. ”所以，数学教师一定要在解题教学中教会学生合理自然地数学思考，让学生通过一道题理解一大类题，能“举一反三”.