K型图的建立和应用

江苏省苏州市相城区东桥中学 凌 健

K型图的建立和应用

江苏省苏州市相城区东桥中学 凌 健

一、基本K型图

K型图又称为一线三等角图形，因图形形似字母K而得名，它有如下3种基本形式：

我们不难发现它们的共性：一直线上有3个点B、C、D，且∠B=∠ACE=∠D，可以推出∠A=∠ECD，进而得到△ABC∽△CDE.若AC=CE，则△ABC≌△CDE.我们把满足以上条件的图形称为K型图.

案例1：如图1，点E为BC上任意一点，∠B=∠AEF=∠C=90ο，求证：△ABE∽△ECF.

图1

分析：本题是一个显性模型，直接应用K型图进行解题.

证：∵∠B=90ο，∴∠BEA+∠A=90ο，

∵∠AEF=90ο，∴∠BEA+∠FEC=90ο，

∴∠A=∠FEC.

又∵∠B=∠C=90ο，

∴△ABE∽△ECF.

图2

变式：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90ο，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45ο（A、D、E按逆时针方向运动）.若点D在线段BC上运动，DE交AC于E.求证：△ABD≌△DCE.

分析：本题与案例1类似，首先根据∠BAC=90ο得出∠B=∠C=45ο，从而得出∠B=∠C=∠ADE=45ο，再通过类比思想应用K型图进行解题即可.

总结：从案例1及其变式可以看出，虽然基本K型图有3种，但究其本质，可以归纳为：满足一直线上有3个角相等的图就是K型图.这3个角无论是锐角、钝角还是直角，结论都成立.为了方便，下面笔者仅用3个90ο的等角模型加以说明.

二、K型图的基本变形及推广

K型图因形似字母K而得名，但在解题的过程中我们可以发现，它也不都是以K型出现的.在有些题目的条件当中往往出现3个相等的角，但它们未必在同一直线上，是不是也可以用K型图来解呢？下面我们就来研究一下K型图的基本变形和推广.

基本变形1：已知∠ADB=∠ADC=∠BAC=90ο，根据同角的余角相等可得∠B=∠DAC，进而得出△ABD∽△CAD.事实上这是一个双垂直图形，我们可以得出△ABD∽△CAD∽△CBA，进一步可以推出射影定理.

基本变形2：已知∠ADB=∠AEC=∠BAC=90ο，根据同角的余角相等可得∠B=∠EAC，进而也能得出△ABD∽△CAE.事实上……