Mathieu方程的一阶近似解

韦玉程，张晓春

(1.河池学院 数学与统计学院，广西 宜州 5463002.南宁市八桂绿城小学，广西 南宁 530031)

Mathieu方程的一阶近似解

韦玉程1，张晓春2

(1.河池学院 数学与统计学院，广西 宜州 5463002.南宁市八桂绿城小学，广西 南宁 530031)

考虑含小参数的Mathieu方程的近似解问题，运用摄动理论中的重正化方法，得到其一阶近似解。并计算了一类含初值问题的Mathieu方程的近似解。

Mathieu方程；重正化方法；近似解。

0 引言

20世纪初，Hilb等人在研究具周期变系数的Liouville型方程时导出了Hill方程，

之后，人们发现，Hill方程在天体力学、自动控制、无线电技术等诸多领域中有广泛的应用。20世纪60至80年代，Hill方程引起了广泛的研究。主要讨论其周期解的稳定性及初值问题。在实际的应用中，人们总是期待“运动”是稳定的周期函数，同时又适合一定的初始条件。Floquet理论表明：当f(t)为实的周期函数时，方程具有Floquet解，然而Floquet解还不是一般意义下的周期解。这样激起人们兴趣的是：什么条件下得到方程稳定的周期解？另一方面是周期解与Floquet解相差多大？

本文主要关注一类特殊的Hill方程——含有小摄动参数的Mathieu方程的近似解问题。Mathieu方程常见于自然科学及工程技术领域中。如月球的运动、电磁波在具周期结构性介质中的传播、电学系统中受周期外力的激发、力学中非线性保守系统周期解的稳定性等问题以及船舶海洋工程中，缆绳和潜水艇拖缆的动力学问题等现象的数学模型的描述均涉及到Mathieu方程，关于Mathieu方程相关的讨论可参看文献[1-6]。

摄动方法是求解微分方程近似解的一种有效方法，其主要思想是通过摄动展开式(含参数的幂级数)的形式表示方程的近似解。但摄动展开式往往是发散的，其有效范围有限，而且在某些所谓非一致域上变失效即出现长期项。围绕着含参数幂级数中出现长期项的问题，数学与物理学工作者们做了深入的研究与探讨，使用各种技巧想办法消去长期项。于是出现了各种奇异摄动方法，如匹配展开法、平均法、多重尺度法、伸缩坐标法等等。关于摄动方法的相关知识看参阅文献[7-8]。

重正化方法是坐标伸缩法的一种，其想法是在所得到的渐近展开幂级数的基础上，对变量进行重新参数化，通过对参数的具体选取，达到消去长期项的目的。这是一种消长期项的有效方法之一。后来根据重正化方法发展形成的重正化群方法，在量子电动力学的领域中得到了很好的应用。日本物理学家Sin-ItiroTomonaga，因为在量子电动力学基础理论的研究中使用重正化理论的得到的突破性的成果与J.Schwinger、R.Feynman共同获得1965年的诺贝尔物理学奖。

本文将对Mathieu方程中使用重正化方法求其一阶近似解，做为例子，我们还计算了一个具有初值条件的Mathieu方程的一阶近似解。

1 主要结果及证明

定理：考虑形如

(1)

的含小参数的Mathieu方程，其中δ为不等于零的参数；ε是小参数。则方程具有如下形式的一阶近似解：

其中C1，C2，C3，C4为常数。

证明：定理的结论将通过以下几个步骤得到实现。

第一步，求幂级数形式解

对于方程(1)，设它具有如下形式的解，

u=u0+εu1+ε2u2+…，

(2)

于是

u″=u″0+εu″1+ε2u″2+….

(3)

把(2)，(3)代入(1)，整理之后得如下方程：

u″0+δu0+ε(u″1+δu1+u0cos2t)+…=0.

(4)

比较方程(4)两端ε的同次幂系数

ε0:u″0+δu0=0;

(5)

ε1:u″1+δu1=-u0cos2t;

(6)

二阶线性方程(5)对应的特征方程为

λ2+δ=0，

故而方程(5)有通解

其中C1,C2为任意常数。从而方程(6)化为

(7)

由三角函数的和差化积公式得

将该方程拆分成以下四个方程：

(8)

(9)

(10)

(11)

根据微分方程叠加原理，方程(8)、(9)、(10)与(11)的解之和便是方程(7)的解。

方程(8)对应的的齐次线性方程的通解为

其中C3,C4为任意常数。根据非齐次项的形式，(8)的特解可设为

(12)

于是

(13)

将(12)与(13)代入(8)，并比较它们的系数得

从而有

故(8)的非齐次线性方程的特解为

类似的，可求得非齐次线性方程(9)、(10)、(11)的特解分别如下：

于是方程(6)的解为

将u0,u1代入(2)，得u的一阶幂级数解的展开式为

第二步，作重正化变换

下面对u的幂级数展开式做重正化变换，令

t=τ(1+εω1+ε2ω2+…)，

代入u的幂级数展开式，得

下面将按ε进行展开，由于

注意到ε→0时有

于是有

类似的，有

因此

经整理可得

第三步，消长期项

在上面得到的的展开式中，发现长期项为

为了消除长期项，令

ω1=0,

注意到t=τ(1+εω1+ε2ω2+…)，即t=τ+O(ε2)，代回u的表达式得

至此，得到所要证明的结论。

2 初值问题实例

考虑如下Mathieu型初值问题

(15)

其中，δ为不等于零的参数；ε是小参数。

在(2)中考虑初值，有

u(0)=u0(0)+εu1(0)+ε2u2(0)+…=1；

比较ε的同次幂系数，得

u0(0)=1,u1(0)=u2(0)=…=0；

代入前面所求得的u0的表达式，可解得

再代入(14)式，可解得

从而初值问题(15)具有如下形式的一阶近似解：

[1]张海燕，唐友刚，陈芳启.非线性Mathieu方程的局部分岔和在余维2退化点的Hopf分岔[J].机械强度，2007(5)：717-721.

[2]刘彬，赵红旭，侯东晓.一类含三势阱Mathieu-Duffing振子的相对转动系统的分岔混沌[J].物理学报，2014(17)：174502-1-9.

[3]李秀平，陈琼，杨杰，等.Mathieu方程的不稳定区及其晶体挖摆动场辐射的稳定性[J].半导体光电，2014(3)：472-476.

[4]王杰方，安伟光，宋向华.一种Mathieu方程动力不稳定性边界的方法[J].振动与冲击，2015(12)：182-188.

[5]Xianghong Li, Jingyu Hou, Jufeng Chen . An analytical method for Mathieu oscillator based on method of variation of parameter[J] . Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , 2016(37) : 326-353 .

[6]Appala Naidu Kotana, Atanu K. Mohanty . Computaion of Mathieu stability plot for any arbitrary toroidal ion trap mass analyser[J] . International Journal of Mass Spectrometry , 2017(414) : 13-22 .

[7]奈弗AH.摄动法[M].上海：上海科技出版社，1987.

[8]钱长伟.奇异摄动理论中及其在力学中的应用[M].北京：科学出版社，1981.

[责任编辑 韦志巧]

Approximate Solution of Mathieu Equation

WEI Yucheng1， ZHANG Xiaochun2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hechi University, Yizhou, Guangxi 546300, China;2.Elementary school of Baguilucheng , Nanning, Guangxi, 530031 China)

In this paper, based on the renormalization method of singular perturbation theory is applied to the Mathieu equation, got the first-order approximate solution. Furthermore, we also calculate an initial value problem of Mathieu, as an example.

Mathieu equation; renormalization method; approximate solution

O175.1

A

1672-9021(2017)02-0067-06

韦玉程(1966-)，男(壮族)，广西凤山人，河池学院数学与统计学院副教授，博士，主要研究方向：临界点理论。

广西教育厅教改项目(2015JGB355；2015JGA332；2016JGA315)。

2016-11-18