城市重金属污染扩散方程模型

万兆亮，么焕民

(1.哈尔滨工程大学;2.哈尔滨师范大学)

城市重金属污染扩散方程模型

万兆亮1，么焕民2

(1.哈尔滨工程大学;2.哈尔滨师范大学)

针对城市小区域重金属元素的空间分布，运用MATLAB中的V4插值，得到足够多的数据及空间三维分布.分析重金属污染物的传播特征，采用封闭边界的Neumann边值及广泛应用的δ函数初值，构造了刻画城市重金属污染扩散方程，得到了八种重金属污染的等级程度.

扩散方程;Neumann边值;SPSS;MATLAB;插值算法;牛顿法

0 引言

重金属是指密度在5.0以上的元素.汞、镉、铅、铬以及类金属砷以及重金属铜、钴、镍、锡、钒等都会对环境造成污染.重金属具有沉积性的特点，许多重金属是人体必须的微量元素，一旦缺乏就会威胁到人体的健康.过多的摄入重金属在一定程度上能抑制生物酶的活性，破坏正常的生物化学反应，具有多种毒理作用.

1 重金属污染扩散方程的模型构造

1.1 重金属污染的主要原因

已知生活区和山区的污染程度很低，因此一定不是污染源，而工业区重金属污染程度严重，污染物总量也最大，导致离工业区稍近的生活区和交通区污染都较为严重，故而工业区应该是大量污染源的所在地.由于工业区Cu、Hg的浓度相对于其他各种金属元素浓度要更为显著，则重金属污染的主要原因应为该市存在排放大量Cu、Hg的工业部门，而大量排放Cu的工厂有磷肥厂，炼油厂等;大量排放Hg的工厂有钢铁厂，磷肥厂等.除此以外，交通区、公园绿地区的污染程度都很高.

1.2 模型假设

(1)污染物在扩散的过程中不发生性质变化;

(2)假设八种重金属污染物的扩散过程相互独立;

(3)重金属污染物的传播服从扩散定律和Fick定律;

(4)假定存在污染源的小区域D内的地面是连续曲面;

1.3 对重金属污染物的传播特征的分析及模型的建立

任何物质传播都是一种扩散问题，而扩散就是污染源向四周中缓慢传播的过程.扩散的原因有两种:一是由于分子热运动导致的，二是由于物质受到重力作用，使得地势较低的地方容易沉积更多的重金属元素.首先要确定污染源的所在小区域D，其次，在D中精确确定污染源所在的位置.由于实际生活中的地形既不是连续曲面，也几乎不可能用函数解析地表达，但是当范围缩小后，可以近似的将D看作单连通区域上的连续曲面.由于污染物是以扩散形式传播的，而扩散有两种原因:一是由于分子热运动导致的，二是由于物质受到重力作用，使得地势较低的地方容易沉积更多的重金属元素.对于第一种扩散原因，可以使用Δu来刻画，对于第二种扩散原因，由于坡度不同，扩散的速度不同，故可以使用grad(梯度)来刻画.并且做如下规定:初始时刻(即t=0时)，所有的污染物集中于污染源;采用封闭边界的Neumann边值及广泛应用的δ函数初值，得到如下扩散方程:

1.3.1 区域D的寻找

首先需要数据处理.为了使数据更加精细，利用MATLAB中提供的“V4”插值算法，生成密集网格.由于污染源一定是浓度的极大值点，因此非极大值点基本不会是污染源.并且生活区和山区的污染程度很低一定不是污染源，而工业区、交通区、公园绿地区的污染程度都很高，所以主要考虑这三个区域中的污染源问题.其次，对于已知的部分数据分别求出综合污染指数，见表1.

表1 综合污染指数

得出的综合污染程度重的点及其邻域，并使相邻的邻域并在一起构成了一些小区域，污染源就会在这些小区域中.再对这些小的区域进行讨论.

1.3.2 应用扩散方程

对于这些小区域，可以看成是独立的互不干扰的封闭区域，运用扩散方程(1)，其中D为这些小区域.如果D∈R2为一个足够小的闭区域，且是单连通的光滑的区域，则扩散系数d可以看成为常量，因此方程(1)的解一定存在，形式为［1］

1.3.3 模型求解算法

Step1:需要确定方程的参数d.在题目的附件1中，取出处于区域D内的数据，将其带入方程的解，这时会出现超越方程，使用牛顿法，求出其近似的解.使用SPSS分析这些近似的解，求出他们的聚点，这就是参数d.

Step2:初值中的参数m为该污染物的总量，利用公式:污染物总量 =污染物浓度 ×区域面积，就可以计算出污染物的总量了.

Step3:在区域D中寻找污染源:第1步，将小区域画出分度值为T=10的网格，为了便于计算，将网格各边分别与x轴，y轴平行.第2步，将网格交点(x，y)代入u(t0，x，y)，其中t0为预先给定的;若u(t0，x，y)=0，则舍去这个点.第3步，若剩余的点较多，可以将t0减小一半，重复第2步.

Step4:记这些剩余的点集合为P，观察P会出现三种情况:

第一种，P中的点基本聚集在某一点(P1，P2)的周围，且距离(P1，P2)越近，点越密.此时，(P1，P2)就是(点状)污染源.

第二种，将P中的点顺次连接起来，发现明显呈一条直线或曲线，拟合出来，记作F(x，y)= 0.此时，F(x，y)=0就是(线状)污染源.

第三种，P中的点几乎均匀地分布在某一范围Q，此时Q就是污染源，这是一种面状污染.

以Cu为例，在D={(x，y)|2000≤x≤2400，3300≤y≤3600}中，以T=10为分度画出网格，利用插值法得出网格交点处的值，将这些数据依次代入(2)式，得到超越方程

采用牛顿法可求解方程(3)的近似值.并规定:只要等式左右两边的值相差不超过0.1%，就认为这个d的值是解.将一系列(x，y)和对应的浓度u(x，y)代入(5)式，得到扩散系数d分别为3.2137，3.1992，3.2002，3.2010，3.1940，3.1999……导入SPSS中，经分析它们呈正态分布，期望值为3.2000，故d=3.2，经过计算m= 3570.

由此得到了关于Cu浓度在区域D上的扩散方程，得出P=(2270，3530)，此即为点状污染源.

对其他元素也执行上述步骤，将结果列成表2.

表2 污染源的位置确定

1.3.4 八种重金属元素的空间分布

空间分布是指重金属随着地理位置不同含量的变化图.由于研究对象是地表土壤中的重金属含量程度，且地标位置可与R2的一个子集一一对应.故可以用(x，y)∈R2来表示位置.以重金属在该坐标所对应位置的浓度为z轴，可构成一个三维空间，此即为该元素的空间分布.利用MATLAB中提供的“V4”插值算法，通过griddata这个函数，可以生成一个比较密集的网格，拟合出网格点的函数值，从而得到近似的曲面，也就是该金属元素的空间分布图，如图1所示.

［1］王玉文，史峻平，侍述军，等.常微分方程简明教程:大学数学科学丛书［M］.北京:科学出版社，2010.

［2］王树禾.数学模型选讲［M］.北京:科学出版社，2007.

［3］杜强，贾丽艳.SPSS统计分析从入门到精通［M］，北京:人民邮电出版社，2009.

［4］刘坤，李光德，张中文，等.城市道路土壤重金属污染及潜在生态危害评价［J］.环境科学与技术，2008(2):124－127.

［5］兰天水，林健，陈建安，等.公路旁土壤重金属污染分布及潜在生态危害的研究［J］.海峡预防医学杂志，2003(9): 4－6.

［6］薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解［M］.北京:清华大学出版社，2008.

Diffusion Equation Model of City Heavy Metal Pollution

Wan Zhaoliang1，Yao Huanmin2

(1.Harbin Engineering University;2.Harbin Normal University)

In this paper，for the small area of urban spatial distribution of heavy metals，enough data and 3D space distribution was obtained by using V4 interpolation of MATLAB.Analysis of transmission characteristics of heavy metal pollutants，adopting closed boundary boundary value and wide application of the function of initial value，the characterization of heavy metal pollution in cities diffusion equation was constructed and the degree of grade eight kinds of heavy metal pollution were got.

Diffusion equation;Neumann boundary value;SPSS;MATLAB;The interpolation algorithm;Newton＇s method

图1

O242

:A

:1000－5617(2017)01－0004－04

(责任编辑:季春阳)

2016－12－11