《椭圆的离心率》教学设计

山西省阳泉市第一中学 胡嘉玉

一、教材分析

本节是一轮复习第十章第一节椭圆的第二课时，已经把大部分知识复习完在教材上是对椭圆的进一步研究，是对椭圆的几何性质的应用，并对之后研究双曲线和抛物线的几何性质，打下基础。所以本节是本章教学的重点和难点，是高考重点考察的内容之一，应引起教师和学生的足够重视。

二、学情分析

本节是在学习了椭圆的定义和标准方程、简单的几何性质之后学习的，学生已经对简单的椭圆几何性质有所了解，而本节是针对几何性质中的离心率重点研究，既复习离心率，又要对前面知识进行综合应用，而且又在1401班授课，属于文科普通班，学生基础知识掌握较差、运算能力较差，所以要做好引导和渗透数形结合的数学思想的工作。

三、教学目标

1、知识与技能：熟练掌握椭圆的离心率及其有关实际问题；

2、过程与方法:由易到难，建立信心，体会数形结合思想等数学思想，掌握求椭圆离心率的一般解法；

3、情感态度和价值观：通过课堂活动参与，获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，敢于创新的科学的精神。

四、教学重点、难点

重点：求椭圆的离心率；

难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的离心率的取值范围问题。

五、教学方法

多媒体、导学案。

六、学法

根据学生情况，应用 复习--练习--讨论--归纳--提升 的学习方法。

七、教学过程

一、基础巩固

1、画出椭圆（a＞b＞0并标明a,b,c的位置关系及其大小关系。

2、写出椭圆的离心率及其范围

且e∈(0,1)

3、椭圆离心率的作用？

反映了焦点远离中心的程度，决定椭圆形状，反映了椭圆的扁平程度。

先分析椭圆离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1.

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

（1）当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

（2）当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为，图形就是圆了。

4、已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，.若P为椭圆上一点，

则

二、重点突破

1.比较椭圆哪个更圆？

2.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

A.①③ B.②③

C.①④ D.②④

【解析】思考不变的是什么，列出等式，再通过离心率的意义，做判断。

答案：B

【设计意图】这两题都是考察椭圆离心率的意义应用，与实际结合更突显离心率的重要性。

3.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为________.

【解析】因为焦距为4，所以c＝2.因为P为椭圆C上一点，且¡÷PF1F2的周长为14，所以2a＋2c＝14，所以a＝5，所以椭圆C的离心率

评注：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直；第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题。

【设计意图】通过计算出a,b,c,求离心率，也是最简单的一种算法。

4.椭圆的离心率为，则m=___________.

【解析】当2＞m时，

当2＜m时，

所以

【设计意图】渗透分类讨论思想，椭圆问题始终不要忘了讨论焦点在哪个坐标轴上。

【小结】：求椭圆离心率的方法：

(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.

（1）若PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，则此椭圆的离心率为________.

【解析】因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝2a

所以|PF1|＝

因为PF1¡ÍPF2，

（2）若存在一点P，若PF1⊥PF2，则此椭圆的离心率的取值范围是________.

【解析】法一：令|PF1|＝x，|PF2|＝y.由椭圆的定义可得x＋y＝2a，因为PF1¡ÍPF2，所以x2＋y2＝4c2，因为(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)，当且仅当x＝y＝a时取等号，即4a2≤2(4c2)，所以a≤

法二：看成以为直径的圆，利用结论椭圆上的点到椭圆中心的距离最小值为短半轴长。

法三：利用再结合椭圆性质求解。

法四：根据当P 与短轴端点重合时，∠F1PF2最大

（3）若存在一点P，使|PF1|＝2|PF2|，则此椭圆的离心率的取值范围是________.

【解析】 法一：设P到两个焦点的距离分别是2k，k，

根据椭圆定义可知3k＝2a，

又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，

¡à2a≤6c，即

又¡ß0＜e＜1，

故椭圆的离心率的取值范围为

法二：根据求解

（4）已知椭圆的长轴长不小于短轴长的4倍，则椭圆的离心率的取值范围是__________.

【解析】 法一：条件a ≥4b怎样转化？

结合上例，平方得

法二：也可让学生在题5的基础上直接通过图像猜想结论，使学生了解a，c参数变化后，的变化情况。

【设计意图】通过改变条件，使椭圆性质的考察更全面，并学会运用数形结合的思想简化运算。

三、小结

四、2个技巧、1种方法。

四、布置作业

完成导学案的课后小练。