基于数形结合思想的一次函数实践研究

魏宏

摘 要：數形结合思想是数学学科教学进程中常用的教学策略之一.教师在讲授数学知识点、数学问题案例时，都需要将数学语言与图形符号进行有机结合、相互补充，从而达到有效讲授的目标预期.本文在此以利用数形结合思想为目标，对深入实施一次函数课堂教学作简要的论述.

关键词：数形结合思想；一次函数；课堂教学；实践；研究

在讲授数学知识点、数学问题案例时，都需要将数学语言与图形符号进行有机结合、相互补充，从而达到有效讲授的目标预期.笔者教学实践意识到，数形结合思想，是数学学科解析问题的常用教学策略和思想渠道之一.通过对函数部分内容分析发现，一次函数在整个初中数学学科函数章节中扮演重要的角色，它和反比例函数、正比例函数以及二次函数等其他内容联系较为密切，关联较为强烈.由于一次函数的图像以及性质的内在特点，决定了数形结合思想在其中发挥不可替代的重要功效.本人在此以利用数形结合思想为目标，对深入实施一次函数课堂教学作简要的论述.

一、以“形”补“数”，讲授一次函数新知要义

数学学科中的语言抽象、内涵丰富，需要图形符号补充佐证和具体展示.学生面对抽象的数学语言文字，经常通过问题题意，进行作图练习，画出图形，帮助和推动学生更好的认知、研析数学概念，从而领悟其深刻内涵.众所周知，学生可以借助函数的图像，窥探到图像里包含的函数丰富性质，这样就为学生研究函数中的数量关系提供充分条件.因此，教师在一次函数新知教学中，应该抓住一次函数图形和数字的内在关联特性，通过“形”将数学文字的深刻内涵以及实际意义进行补充和体现，从而把复杂的一次函数要义通过图形符号进行有效的认知和掌握.

如在“一次函数的性质”中，如果单纯从字面上组织学生进行理解，很难较为深刻、较为全面的领悟和理解.此时，将电子画板引入其中，利用电子画板的动画功能以及图形变换功能，运用图形符号来加深学生对一次函数性质的理解.设置出一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图像，要求学生开展分析思考，借助于教师提供的一次函数图像发现，当这一函数的k值发生变化时，其图像中y的值也随着发生变化，通过图形观察可以看出，当k>0时，y的值随着自变量x的值增大而增大；k<0时，y的值随着自变量x的值增大而减少.在此基础上，通过变化k与b的取值范围，组织学生进行一次函数图像的观察，借助于图像展示，认识到k和b都大于0时，此时一次函数的图像一，二，三象限；当k>0，b<0时，一次函数的图像则经过一，三，四三个象限；当k<0，b>0时，一次函数的图像经过一，二，四象限；k<0，b<0时，函数的图像经过二，三，四象限.在这一以数补形的过程中，对一次函数的性质内涵有了全面深刻的理解，让他们在通俗易懂、形象直观的图像中掌握要义.

二、借“形”助“数”，推动一次函数案例解析

数学问题的解答，需要通过“数”和“形”的两个不同角度同向发力，才能达到对题意的深刻理解和有效解答.笔者发现，有不少学生在解析案例时，经常从代数角度方面入手，难以对数学问题的内涵和深刻要义进行全面理解.而通过借助直观的数学图形，学生在理解和认知时能够更为深入直观的掌握[1].初中数学教师应在一次函数的教学中，充分发挥图形的丰富直观性，借助图形，深层次理解分析案例，通过以“形”助“数”，借助于图形符号，将数学语言演变为图形符号，突出图的形象思维，推动形象思维与抽象思维深度融合，保证学生的一次函数案例解析效果.

例1 已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向下平移与x轴，y轴分别交于点C、D，若DB=DC，试求直线CD的函数解析式.

在一次函数案例讲解中，要求结合题意，进行作图练习，画出图形进行问题题意的思考分析.学生在认真分析数学案例题意中，通过数形结合思想，将数学案例题意的文字符号变化为图形符号，其图形如图所示.在分析题意、观察图形的共同活动中认识到，要求函数的解析式，就需要通过代入法进行，先设出一次函数的基本解析式，然后通过把A（0，2）、点B（1，0）代入，得b=2，k+b=0，解得k=-2，b=2，从而得到直线AB的解析式为y=-2x+2；此时将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC，通过观察图形发现，DO垂直平分BC，得到CD=AB，其点D的坐标为（0，-2），通过观察图形符号，发现平移后的图形与原图形平行，此时根据函数解析式的性质得到平移以后的函数解析式为：y=-2x-2.此时，针对学生的解析和观察活动，向他们指出，该问题是关于一次函数图象与几何变换方面的案例，需要现求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式.在解答问题活动结束后，强调指出，该问题解答时，一定要利用图形对文字的补充作用，利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时，要时刻注意平移时k的值不变，只有b发生变化.

三、“数”“形”融合，建立一次函数生活模型

一次函数在现实生活中有着广泛深入的应用.初中数学教师在一次函数教学中，要借助数形结合思想，设置具有数形合一的生活模型，通过函数模型将现实生活中较为复杂的、变化深刻的问题有效解决，采用对函数图像及语言文字进行“加工”的形式[2]，找到对应的函数值，在有效建立函数模型中，实现对数学生活问题的解决.

例2 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神舟行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元.若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元.（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同；（3）某人估计一个月内通话300min，应选择哪种移动通讯合算些？

这是一道关于现实生活中话费使用的一次函数问题案例，教师在讲解时，引导学生根据问题的题意，作出一次函数方面的图像，组织他们围绕解题的要求进行初步的相互讨论.利用几何画板展示有关该案例的生活模型，开展数形结合分析，明确指出，（1）因为该公司所提供的两种通讯业务中，“全球通”需要预先交50元的月租，才能享受通话1分钟再付费0.4元的优惠；而“神舟行”不需要缴费，只要通话1分钟付0.6元.现在可以设定这一个月联系了x分钟，则可以设定消费了y1元和y2元，则y1=50+04x，y2=06x；（2）令y1=y2，解方程即可；（3）令x=300，分别求出y1、y2的值，再做比较即可.

利用数形结合的方法，通过建立生活模型，解析一次函数问题，是学生在解答现实生活一次函数案例的有效、经常性教学方式.

以上，是本人对数形结合思想背景下，一次函数课堂教学的粗浅认知，还有许多不妥之处，还请教育同仁指正，提供宝贵经验.

参考文献：

[1]吕小保.一次函数图像知识与直线型图形性质的互通应用[J].上海中学数学，2012（02）：15.

[2]朱翠芳.“一次函数的图像（2）”教学案例[J].考试周刊，2010（ 01）：77-78.