初中数学视野下“基本思想”的解读

2017-07-26 07:52戴蓉蓉
数学教学通讯·初中版 2017年7期
关键词:初中数学

戴蓉蓉

[摘 要] “四基”中新增的一基是基本思想,对基本思想的解读,要立足于经验但又不能过于经验化. 从概念解析的角度来看,基本思想需要从“基本”与“思想”两个角度建立理解,同时要厘清“数学思想”与“数学方法”之间的联系与区别. 有效的“基本思想”理解,是建立在教学实践基础之上的,因此从教学中寻找实例建立理解,是深化理论认识的重要途径.

[关键词] 初中数学;基本思想;教学解读

自从2011版《义务教育数学课程标准》颁布以来,“四基”就成为一个热词,而其中又以基本思想和基本活动经验为数学教师所津津乐道. 在笔者看来,新的“两基”的提出,一方面是对已有教学中一些思路的精要概括,同时也是为以后的教学指明方向. 需要强调的是,对于这两个概念的理解,不能经验化,不能泛化,不能将它们视作一个啥都可以往里装的篮子,更不能只抓住概念去贩卖旧的观点. 本文试以“基本思想”为研究对象,谈谈笔者的一些观点.

“基本”的思想

“基本思想”首先是“‘基本的思想”,既然是“基本的”思想,那就不能太多、太泛,尤其是初中阶段,正是通过数学知识理解数学思想的时候,过多、过滥的思想,往往不容易让学生形成一种线索性的认识,这就容易让学生对数学思想的理解处于离散状态,这显然不是课程标准的初衷.

那么,哪些思想是基本的数学思想呢?课程标准解读给出的答案是三个:数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想. 不多,好记,但需要理解. 这三个思想理解起来很容易:数学原本就是抽象的产物,可以说没有对实际事物的抽象就没有数学,因此,在数学教学中,尤其在2011版课程标准的引导下,初中数学教学常常需要让学生面对类生活的数学情境进行思考,以抽象出其中的数学研究对象,进而建构数学概念、描写数学规律;数学推理在数学中无处不在,因此,推理思想是数学的基本思想毫不为过,最简单的证明就是初中数学中学生面对了无数次的“因为……所以……”的推理;数学建模相对而言要“高大上”一些,在数学中建立模型的思想更多地是以隐性的形式存在,学生很多时候并不知道,这也符合初中生的认知特点,你总不能在学生面对一个实际问题的时候说“我们先来建立一个数学模型”,这就太标签化了,不符合“思想”的本义,但数学建模的过程却需要细细引导,让学生学会建立模型,是初中数学教学的重要立足点. 下面通过几个例子来说明初中数学中三个基本思想的存在.

“数轴”是学生进入初中之后学的第二个概念(第一个概念是有理数,人教版初中数学七年级上册),这个概念的建立可以说同时包含了三个基本思想:教材中引入数轴时给出了一个实际问题,即在一条东西向的马路上,有一个汽车站牌,汽车站牌东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站牌西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.

分析:画图表示就是一种数学抽象的思想,其后将图演变成数轴更是一种数学抽象,因此抽象是存在的;将题意转换成图形需要简单的演绎推理(在归纳了生活经验与此前数学知识的基础上),确定单位长度并表示图中的四个数据也是推理,因此推理是存在的;最后形成的数轴则毫无疑问是一个数学模型,因此数学模型亦是存在的.

其实只要细细分析,可以发现很多数学概念的构建过程中,很多数学规律的探究并得出的过程中,都有这三个基本思想的存在,由此也反证了这三个思想确实是“基本”的思想.

基本的“思想”

无论是以前的“双基”,还是现在的“四基”,尽管简称里面强调的是“基”,但实际上人们更为关注的是“思想”. 要知道,并不是所有的表达都可以称为思想,真正的思想其实是很宝贵的!从纯粹数学意义的角度来看,只有涉及作为科学的数学的发生、發展的“根本”的表述,才能称之为“数学思想”. 既为数学思想,便是数学知识大厦的基础,从而也就是数学课程的灵魂. 关于数学思想的表述,很多人给予了不同的通俗表达,笔者以为这样的表达是适切的,有助于一线教师更好地理解数学思想. 比如,有人说“数学思想就是忘记了所学的数学知识之后剩下的东西”(这句话最初出于爱因斯坦的相关表述,兹不赘述),确实如此,如果从学生成长的角度来看,当学生离开数学课堂之后,他们还能用数学推理去对生活中的某些事物进行判断,他们甚至还能将推理的能力迁移到其他学科中. 比如,有学生遇到陌生的历史选择题时,能够根据题中所给的信息推理题目中所说的事情发生的朝代(这可是数学学科核心素养所强调的课程融合);又如,学生进入社会之后,他们还会借助数学思想,根据自己的生活需要选择电信资费套餐等,这也是数学思想的应用. 在这样的情境中,学生未必会意识到数学的存在,但数学思想的的确确就客观存在着,这就是数学思想的魅力!

将“基本思想”理解成“基本的‘思想”,就意味着教师的教学着力点也需要放在思想本身. 但正如上面所论述的一样,思想有时其实不宜作为显性存在,尤其是不适宜当作标签贴在某个教学环节上. 思想犹如灵魂,其存在于肉体当中同时又支配着肉体的行动,这才是思想的作用机制. 当然,在学生已经理解了某个基本思想,已经能够熟练运用思想之后再告诉学生这一数学思想的名称,这并不是贴标签,这只是数学思想以具体概念的形式出现,也是数学教学的一个有机组成部分.

在三个基本数学思想当中,数学建模的思想尤其需要经历这样的建构过程. 在七年级下学期或八年级上学期,抓住某一个运用到数学建模的教学机会,就可以将思想显性化(概念化),如“平面直角坐标系”的学习,基于确定位置的需要并通过对实际问题抽象之后,便建立了平面直角坐标系. 建立之后,让学生反思其建立过程,并寻找此前用到类似方法的过程,于是学生会发现,通过类似的过程,可以建立一个解决一类数学问题的工具,正因为这个工具(其实就是数学概念或规律)具有普遍适用性,因而其就具有了模型作用,于是这样的过程就是数学建模的过程. 当然,这还需要教师根据实际情况去判断,即使整个初中阶段不提数学建模的名称,也并不会实质性地影响学生建构数学知识,毕竟,数学建模作为思想运用,才是最实质的.

思想与方法

谈到数学思想,数学教师几乎都能直觉性地想到“数学方法”,但是很显然,这两者不是同一个概念. 思想是根源性的,是方法的源泉;方法具有操作性,也常常是程序性的,是有具体的执行步骤或路径的. 因此,思想非方法,但思想与方法之间存在着密切的关系. 初中数学中常见的数学方法较多,如解方程或解方程组中的代入法、配方法、公式法等.

其实,作为一线数学教师,更多的需要从数学思想与数学方法的理论梳理中,找到数学教学实践的智慧. 这里有一个重要的认知就是:数学思想作为数学方法的根源,其外在体现为具体的数学方法,而数学思想要想变成数学方法,最重要的途径就是将数学思想所演绎出来的“程序化操作”显现出来.

什么意思呢?这里还是通过“数轴”这一事例进行说明:在“数轴”的教学中,会同时用到数学抽象、数学推理与数学建模的基本思想,但在实际问题与数轴这一模型之间,教材设计了一个“画图”的中间过程,这个过程可有可无吗?当然不是,在笔者看来,这恰恰是体现教材编写者高超智慧的地方. 因为从学生构建数轴的角度来看,他们不可能一下子想到用数轴这一模型来表示实际问题,而画图却是初中生非常感兴趣的(事实上他们从小学数学学习开始就喜欢画图的方式,这与学生的形象思维有关),也是学生数学学习的直觉性行为. 因此,画图这一中间过程,就将学生所用到的三种基本思想形象化、技术化了. 当三个基本思想支配着学生的画图及其结果时,就意味着数学思想在向数学方法演变. 其演变过程可以这样简述:学生在面对实际问题的时候,大脑会根据文字描述构建出相应的表象;在“画图”的要求下,这些表象最终会转换为学生笔下的图形——由路、树、电线杆、汽车站牌等构建出来的简图;其后,又在“用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系”这一要求的作用下进一步抽象,你会发现学生确实会有效进行这两步抽象,也确实可以顺利地建构出数轴这一用于表示、解答数学问题的模型. 此过程中,三个数学思想是内在于学生心中的,而其演绎出来的带有步骤性的操作,其实就是数学方法的产物.

综合地说,观念性的、概括性的(当然还有其他一些表述)是数学思想,操作性的、程序性的是数学方法. 厘清两者的关系,可以让教师在教学中更好地分清教学重点,从而更有效地实施教学.

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