让学习触及数学学科的本质

李军

[摘 要]教师要给学生一个有“根”的数学，让学生的学习触及数学学科的本质，以“再发现”的方式让数学思想根植于学生的数学学习。渗透数学思想已成为培养学生数学素养的核心教学目标，因此，使学生有机会通过自己的发现获得新的数学知识、技能、方法及思想，成为一个“具有数学思想和眼光”的人是当前教学的重点。

[关键词]数学思想；教学策略；渗透

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）20-0001-03

多年来，“培养学生的基础知识和基本技能”一直是我国数学课程的目标，《义务教育数学课程标准（2011年版）》总目标部分明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。” 从“双基”到“四基”，一直隐藏于“冰山底部”的数学思想得以凸显，这既是课程目标发展的必然结果和时代进步的需求，也是对广大教师的课堂教学改革提出的要求。孙晓天教授指出：“这是在数学课程目标完善方面迈出的重要一步，是我国数学课程改革取得的阶段性进展的重要标志。” 著名数学家张景中说过：“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。” 由此，渗透数学思想应成为小学数学教学的具体目标，教师要给学生一个有“根”的数学，让学生的学习触及数学的本质。以“再发现”的方式让数学思想根植于学生的数学学习理应成为数学教师的研究课题。

数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识，具有概括性和普遍性的特点，是数学方法的灵魂。教师要挖掘、提炼隐含于教材中的数学思想，凸显数学思想，让学生经历感悟、体会、经历、发现、创造等学习的过程。

一、以数学思想作为引领教学的根本

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把数学思想列为“四基”之一，对此，在关注知识和能力的基础上，教师要把数学思想作为引领教学的根本，让教学彰显数学思想的力量。

1. 以数学思想引领教学目标

目标是课堂教学活动的出发点和归宿，但很多教师始终把基础知识、基本技能作为课堂教学的唯一目标，只从教学内容的角度来确定教学思路，教学的核心是知识的掌握和技能的训练。当我们把视角从陈述性知识转向程序性知识和策略性知识，把教学的重點转移到关注数学思想，注重学生数学核心素养的培养时，就要更多地考虑如何抽象、推理、建模、应用。有了这个意识，教师在教学中要自觉研究和挖掘数学知识中蕴含的数学思想，主动从数学思想的角度分析教学内容，精心设定教学目标和设计教学活动，在这个过程中，目光要聚焦到学生，聚焦到如何将数学思想蕴含在教学之中。作为教师，我们要有数学思想的理论知识，要通过学习与实践，明晰数学思想的特征、内涵及教育价值，把握教材中主要的数学思想，创造性地从数学思想的维度分析教材、设计学习活动。只有在理解和掌握数学思想方法理论的基础上深入挖掘，在教学目标中加以明确描述，才可能在教学中全面落实“四基”的教学目标。因此，读懂教材中的数学思想，是教师必备的素养。

2. 以数学思想发展学生思维

传统的数学教学注重数学思维活动，以培养学生的思维能力为核心，课改后的数学教学虽然目标变得更为多元化，但是培养学生的思维能力仍然是数学教学的核心目标。孙晓天教授指出：“学生在探索、挖掘和发现的过程中产生的思维活动，就是数学思想的再现。”要让学生的思维活动具有一定的“含金量”，教师就要有意识地围绕数学思想来展开教学，并让隐性的数学思想逐步浮出“水面”，变得鲜亮起来。教师要紧紧抓住“数学思想”这个主线，探究渗透数学思想的策略和方法，在课堂教学中，要让学生亲历知识的再创造和再发现的过程，让学生经历数学思想重塑的过程，让学生透过现象触摸到数学的本质。因此，教师除了有意识地让学生感悟一些数学思想，加深学生对数学知识本质的理解，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力之外，还要让学生在数学知识的应用中和数学思想的感悟中，逐步发展数学思维，从而培养学生的数学核心素养。

3. 以数学思想引导评价标准

对一节课的评价，不能仅仅局限于评价组织形式和呈现方式，不能把是否“标新立异”作为评价一节课好坏的标准。一节数学课的“亮点”在何处？从数学教学角度讲，一堂课往往新就新在思维过程上，高就高在思想性上，好就好在学生参与活动的深度和广度上。有思想深度的课，能给学生留下深刻的印象。日本数学教育家米山国藏曾说：“不管学生以后从事什么工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，将长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”可见，数学思想的教学在数学教育中具有重要作用。

二、小学数学思想的教学策略

弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”。作为教育内容的数学知识，都是“现成”的，但这只是对成人而言，对小学生来说，一点都不“现成”，每一个都值得探索，每一个都是一块值得挖掘、孕育着发现的“土壤”。

1. 深入挖掘蕴含数学思想的课程资源

数学思想要以教材为载体，而教材是实现课程目标、实施教学的重要资源。教师要善于把教材改变为“学材”，要从学生的角度重新组织学习材料。好的“学材”并不是数学知识的简单堆砌，而是要将数学精神、思想和方法蕴含其中。经过十多年的课程改革，教材发生了巨大的变化，特别是当前的教材，不但呈现了数学知识的发生、发展和应用过程，也蕴含着丰富的数学思想。教师要将“学材”中蕴含的数学精神、思想和方法充分释放，让学生能够感受数学的魅力。可以发现，同样的教材，教师对其数学思想、智力因素挖掘的程度不同，学生的学习效果以及思维发展程度也大相径庭。

新教材（以苏教版国标本教材为例）注重贯彻落实“四基”目标，在夯实“双基”的基础上着重培养学生的数学思想和基本活动经验。例如，一、二年级的教材主要利用加、减、乘、除四则运算的关系，解决与常见的量有关的简单实际问题，其中蕴含了分类、归纳、比较、模型、对应、推理、符号化、假设、类比等数学思想。又如，三年级的教材安排了“解决问题的策略”单元：侧重学习从条件想起、从问题想起、列表、画图、列举、转化、替换等策略，着重渗透抽象、归纳、推理、模型、转化、数形结合等数学思想。

2. 凸显数学思想的形成与发展过程

数学课程的各个领域、各个方面，不论是数与代数，还是图形与几何，抑或是统计与概率、综合与实践等内容，都蕴含着数学思想与方法。比如，用方程的方法解题，就蕴含着方程思想；把实物抽象成字母或符号表示，就蕴含着抽象、模型等思想；借助实物图、示意图、线段图等图形来解决问题，就蕴含着数形结合思想……教师要从承载着概念、公式、法则、定律等的例题中挖掘数学思想，也要注意挖掘习题中的数学思想，还要有意识地选择一些蕴含数学思想的题材作为补充。因此，教师只有抓住显性的数学知识和隐性的数学思想这两条主线，设计好每节课的学习活动，让学生在获取知识的过程中触及、感受数学思想，体验和经历数学思想形成的过程，才能让数学基本思想扎根于学生的心灵和头脑之中，并成为一种意识、观念和素质，为学生将来的学习和生活服务。

如教学“10”时，多数教师会结合计数器、点子图、小棒等直观教具或者实物，让学生认识到“9添上1”是10后再进一步学习10的组成及加减法，很少引导学生思考：10与前面学习的0～9有什么不同？这个问题隐含了一个非常重要的思想方法——数学抽象，因为10这个数不仅是对任何数量是10的物体的抽象，还具有重要的转折意义——十进制计数原理，然而，多数教师都没有意识到这一点。因此，教师要引导学生通过回顾与反思来完善原有的认知结构，帮助学生感悟这些数学思想的内在魅力和作用。

3. 引导学生数学地思维

基于小学生认知能力和思维水平发展的特点，教学数学思想时，不能抽象地告诉学生将要学习的是什么数学思想，必须以“再发现”的方式让学生习得，教师要给学生这种再创造的“工作”创造条件，而不是把现成的知识、思想灌输给学生。要让数学思想真正贯穿于学生学习、发现、创造的全过程，让数学思想根植于学生的学习，使得学生能通过自己的发现获得新的数学知识，在经历探究的过程中领悟数学知识和数学思想的来龙去脉。

如教學“用数对确定位置”时，可以创设“打地鼠”的问题情境，通过你说我打，自己确定位置，自主建构数学规定等一系列活动，让学生通过观察、思考、碰撞、辨析，感悟确定位置的三要素“原点、方向、单位”，自主建构类似数轴、直角坐标系等一维空间、二维空间，甚至三维空间上的统一规定。这种自我建构知识的过程是那么鲜活和敞亮，学生不仅体验到“一一对应”的数学思想，还感悟到数形结合、函数等数学思想。

三、小学数学思想渗透的阶段性认识

根据小学生的年龄及认知特点，要引导他们在数学活动中体验数学思想，必须防止“贴标签式”的渗透，以及生搬硬套的应用。在小学阶段，数学思想的渗透可以分为三个阶段：启蒙阶段、形成阶段和应用阶段。

1. 启蒙阶段：在活动中体验

数学思想具有高度的抽象性，在低年级时，教师要有意识地把抽象的数学思想一点一滴地融入具体的数学知识中，通过观察、操作、思考等活动，比如，用三角形、正方形等图形来代替一些实物，从实物直观到图形直观，再到符号直观，引导学生经历数学化的过程，让学生初步感受符号化思想、数形结合思想和“一一对应”思想。

2. 形成阶段：在探索中感悟

随着年龄的增长，学生相关的知识经验会逐步增加，教师就可在适当的时候明确提出一些数学思想，使学生初步理解这些基本思想，并能将其应用到探索新知的活动中来，这是理性认识的开始。如教学多边形的面积计算时，在学生掌握了平行四边形的面积公式的推导方法后，教师要适时对探索平行四边形的面积公式时运用的转化思想进行介绍，这样，在后续教学三角形、梯形的面积公式时，就能让学生利用转化思想进行探索，学生就会对转化思想的名称、内涵有一定的了解。

3. 应用阶段：在发现中内化

高年级的学生已经熟悉和掌握了一定的数学思想，这时教师要做的就是强化以及培养学生在学习和生活中熟练运用数学思想的能力，让学生不仅知道用什么和怎么用。如，学习圆柱的体积计算时，学生通过类比，能够想到将圆柱转化为长方体后再推导圆柱的体积计算公式，这时，教师就要进一步引导学生通过切、拼找出图形之间的关系。在这个操作实践的过程中，学生对转化思想、极限思想的认识不断得以提升和内化。可见，数学思想的教学，要超越冰冷的形式演绎体系，要联系数学文化背景，要能够触及学习者的灵魂，这样才能真正达到教学的真正目的。数学思想与方法需要提炼，内容阐述在前，思想方法提炼在后，数学思想方法理还应成为每个章节和每个单元“小结”的主题。

因此，教师要关注数学思想，要给学生一个有“根”的数学，使学生有机会通过自己的发现获得新的数学知识、技能、方法及思想，在探究发现的过程中领悟数学的真谛，从而成为一个“具有数学思想和眼光”的人。

[1] 中华人民共和国教育部.九年制义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 孙晓天.关于数学基本思想的若干认识与思考[J].江苏教育，2012（12）.

[3] 张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J].人民教育，2007（18）.

（责编 金 铃）