例说在实际问题中的线性代数概念及理论

摘 要：线性代数是高校有关专业一门重要的课程，它主要研究行列式、矩阵、向量组、线性方程组等理论。具有非常强的实用性。它的理论体系严密、完善，且抽象。不易学，往往给学者一种学线性代数有什么用的感觉。其实，线性代数的概念、理论不是数学家的杜撰，而是来源于现实生活实际，能够找到它的溯源。

关键词：线性代数；行列式；矩阵；线性方程组

线性代数的产生：线性代数是数学的一个重要分支，主要以行列式、矩阵、线性方程组、向量组等基本概念为基础，以定理为依托，线性变换为手段，利用矩阵、线性方程组理论，通过对大量数据的处理，得到最优化的结果或简明的表示。在实际生活各领域都具有非常强的实用性。在线性代数的学习过程中，学生常提出学线性代数从何而来又有什么用的问题，多数教师只是将定义、定理泛泛讲一讲，而忽略了他的出处，实际上定义、定理的产生不是数学家的杜撰，而是来源于现实生活实际，能够找到它的溯源。

一、行列式的几何意义

一维空间即数轴上，向量表示一有向线段，可以求长度。二维空间两向量可以围成一平行四边形，可以求面积。三维空间三个向量可以围成一六面体，可以求体积。

有了行列式概念及理论，为进一步研究矩阵打下坚实的基础。

二、矩阵概念的产生

例如：某手机营销公司旗下有X、Y两个店，分别经营苹果、华为、三星、金立四品牌手机一月份销售数据如下表：

显然两个月的销售数据就是一、二月销售数据对应相加。这就是矩阵的加法。进一步可以定义矩阵的数乘、矩阵的乘法。从实际问题中分离出来，就定义了一般意义上的纯数学概念。

三、线性方程组理论

线性方程组是线性代数中一重要理论，贯穿于线性代数课程的大部分内容，知识理论体系严谨、完善、抽象。分化为线性方程组、矩阵方程、向量方程，三个理论体系，又完善地融合于一体，学起来有些困难。但是，线性方程的提出，同样可以找到它的溯源。

例如：近年来，车辆的增加，北京在有些道路设置了单行道，以解决拥堵现象，如下图所示（数据为某一时间段内的统计），假设每个交叉路口进入和离开的车辆相等，计算每条道路的车辆情况由问题，得出如下方程关系：[x1+x2=650x1-x4+x5=450x2+x3=340x4-x3=300]

这就是由n个未知数建立了m個方程的一般方程关系，在这种方程关系下，线性代数建立了完善的方程理论，进一步研究矩阵、矩阵的秩、矩阵的初等变换，向量、向量组、向量组的秩、最大无关组。使得线性方程组、矩阵方程、向量方程有了完美的融合，建立了严谨的线性代数理论。

结论：通过对行列式、矩阵、线性方程组三个概念的溯源，可以说，线性代数完美理论体系的建立，不是数学家异想天开杜撰而成，而是来源于现实生活实际反之，又广泛应用于社会各领域，为人类所应用。

参考文献：

[1]石金玮，梁艺义，田硕.线性代数的应用问题举例[J].无线互联科技，2012（07）：180.

[2]胡玥.线性代数案例教学研究[J].知识经济，2014（17）：179-180.

[3]周绍伟，刘洪霞，南长全.线性代数应用教学案例[J].统计与管理，2016（09）：189-191.

作者简介：

李巨成（1966—），男，大学本科；唐山学院基础部副教授；主要研究：基础数学、应用数学、高等数学等。