反比例函数解题技巧

史峥遒

反比例函数是初中数学函数部分的重要内容，是一个核心知识点.由反比例函数的图像和性质能衍生出许多数学问题.随着新课改的不断深入，在近几年的各地中考数学试卷中，以反比例函数为背景设计的新题型也随处可见，试题难度以低、中档为主，常见的题型有填空题、选择题和解答题.同学们要能熟练运用反比例函数的图像和性质答题.

一、利用反比例函数图像的增减性

例1 反比例函数y=[2x]图像上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），其中（x1

【点拨】如果我们能把函数的图像大致画出来，在图像上描出三个对应点，那么我们解决这种问题就相对比较直观，也比较简单了.

例2 在反比例函数[1-2mx]的图像上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1<0

A. m<0 B. m>0

C.[m<12] D.[m>12]

【点拨】对于这道题，我们必须根据x与y的关系先判断函数图像的分布，然后根据函数图像的增减性来求m值的范围.

例3 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧，进行锻造操作.经过8min时，材料温度降为600℃.煅烧时，温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例关系（如图1）.已知该材料初始温度是32℃.

（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；

（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？

【点拨】由图像可知曲线BC的表达式是y=[4800x]，在解决第二个问题时，科学的解法应该是令y=[4800x]≥480，但由于大家还没有学过分式不等式，那只能先解方程[4800x]=480，然后结合函数的增减性得出x≤10.

二、利用反比例函数表达式中“k”的几何意义

研究函数问题要透视函数的本质特征.反比例函数y=[kx]（k≠0）中，反比例系数k有一个很重要的几何意义：过反比例函数y=[kx（k≠0）]图像上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积S=PM·PN=[y·x=xy=k].所以，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数.从而有S△PNO=S△PMO=[12k].在解决有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中“k”的几何意义，则会给解题带来很多方便.

应用1：比较面积大小.

例4 如图2，在函数y=[2x]（x>0）的图像上有三点A、B、C.过这三点分别向x轴、y轴作垂线.过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA、SB、SC，则（ ）.

A. SA>SB>SC B. SA

C. SA

【点拨】根据反比例函数中“k”的几何意义可知SA=2，SB=2，SC=2.所以SA=SB=SC.故选D.

应用2：求面积.

例5 若函数y=kx（k>0）与函数y=[1x]的图像相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（ ）.

A. 1 B. 2 C. k D. k2

【点拨】如图3，若先求出A、C两点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂烦琐.若能利用反比例函数中“k”的几何意义，则能“快刀斩乱麻”.

解：由反比例函数图像关于原点成中心对称知O为AC中点.根据反比例函数中“k”的几何意义，有S△ABO=[12×1]=[12].

又因为△ABO与△BOC是同底等高的三角形，所以S△ABC=2×[12]=1.故选A.

应用3：确定解析式.

例6 如图4，反比例函数y=[kx][（k≠0）]与一次函数y=-x-k的图像相交于A点，过A点作AB⊥x轴于点B.已知S△AOB=2，直线y=-x-k与x轴相交于点C.求反比例函数与一次函数的解析式.

【点拨】由反比例函数y=[kx][（k≠0）]中“k”的几何意义知S△AOB=2=[12][k]，故[k=±4].又因为反比例函数图像在第二、四象限，所以[k=-4].从而可知，两个函数的解析式分别为[y=-4x]和y=-x+4.

三、利用反比例函数图像的对称性

中心对称的实质是旋转变换，与函数图像融合时具有较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、空间观念与多种数学思维能力的综合运用，由于反比例函数的图像有中心对称性，所以可以将非特殊图形转化为特殊图形（圆形），解题的关键是面积的割补及对称转化.

例7 下图中正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，作出与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和.

【点拨】利用反比例函数图像和圆的对称性求解.

解：由点A的坐标可知，圆的半径是1，又由反比例函数的对称性知，两个阴影部分的面积和应为一个圆的面积，因此图中两个阴影面积的和为π.

例8 已知反比例函数y=[1x]、y=-[1x]的图像和一个圆，则图中阴影部分的面积是（ ）.

A.π B.2π C.4π D.条件不足，无法求

【点拨】根据反比例函数的图像的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，因为圆的半径是2，所以图中阴影部分的面积是[12]×π×22=2π.故选B.

四、利用一次函数图像与反比例函数图像的交点

解一次函数与反比例函数相结合的题，要充分利用“交点在两个函数图像上”这个有利的条件，确定函数的关系式，并结合图像，根据函数图像的相关性质分析函数值之间的关系.

例9 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是 .

【点拨】由一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，可知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是：x<-1或0

此外，还有一次函数与反比例函数的综合应用题，一般它包含两个区间的函数关系，因此同学们在求两个函数的关系式时应特别注意转折点（即公共点），它又是自变量的取值范围的分界点.

解决函数情境应用题的核心是通过观察和分析图像、图表、情境，捕捉有效信息，并对已获得的信息进行加工、处理和整理，分清变量之间的关系，选择适当的数学工具，將实际问题转化为相应的函数数学模型来解决问题.

（作者单位：江苏省溧阳市燕山中学）