数形结合在初中数学课堂中的妙用

甘肃省靖远县高湾中学 韩 军

数形结合在初中数学课堂中的妙用

甘肃省靖远县高湾中学 韩 军

所谓“数形”结合，就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维结合。数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，由数思形，以形想数，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

一、以形助数

1．利用数形结合（数轴）解数与式

应用1：点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧。若一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时终点所表示的是什么数？

分析：首先让学生正确画出数轴，由“点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧”确定点A所表示的数是-3，用数轴上的点表示，这种把给定的数（-3）用数轴上的点（A）表示，是由“数”到“形”的思维过程。一个点从点A处向右移动4个单位长度，到点A＇处，则点A＇表示的数是1，再向左移动1个单位长度到点A＂处，则点A＂表示的数是0，因此此时终点所表示的数是0。这种指出数轴上已知点所表示的数，是由“形”到“数”的思维过程。这道题从两个侧面体现出数形结合的思想。借助数形结合解这类题既方便又直观。

解：如图，点A表示的数为-3，向右移动4个单位长度到点A＇，点A＇表示的数为1，再向左移动1个单位到点A＂，点A＂表示的数为0。所以，此时终点所表示的数是0。

应用2：解方程：-3x2+22x-24=0。

3×（-6）+1×（-4）=-22。

解：-3x2+22x-24=0，

3x2-22x+24=0 ，

（3x-4）（x-6）=0 ，

这种是将数量关系与直观的几何图形结合起来，由数思形，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

2．利用数形结合解决“追赶小明”（方程）问题

应用1：小明每天早上要在7∶50之前赶到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。

（1）爸爸追上小明用了多长时间？

（2）追上小明时，距离学校还有多远？

分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等.在解决这个问题时，要抓住这个等量关系。

解：（1）设爸爸追上小明用了xmin。

根据题意，得 180x=80x+80×5，

化简，得100x=400，

解得x=4。

因此，爸爸追上小明用了4min。

（2）180×4=720（m），1000-720=280（m）。

所以，追上小明时，距离学校还有280m。

分析：应鼓励学生通过观察、分析找出其中的等量关系，并尝试借助“线段图”分析复杂行程问题中的数量关系。这是一个数学化的过程，发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转化能力。

分析：学生从“形”上易于发现相应的函数图象（直线）相交，而从“数”的方面也可以发现交点坐标适合这两个方程，从而进一步体会二元一次方程与一次函数之间的关系以及方程组的解与函数图象交点坐标之间的关系，体会数形结合思想，发展几何直观。

3．数形结合在“烧煤取暖”（不等式）问题中的应用

解不等式②，得x≥4。

在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：

所以，原不等式组的解集是x≥4。

利用数轴表示不等式组的解集（找公共部分）是关键。这种表示反映了图形和数量的对应关系，再现了数形结合思想。

二、以数解形——函数及其图象凸显的数形结合

（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？

因此顶点的坐标为（-20，1），

所以，钢缆的最低点到桥面的距离是1m。两条钢缆最低点之间的距离是40m。

[1]马复．数学七年级上册及教师教学用书[M]．北京：北京师范大学出版社，2013年6月出版．

[2]马复．数学八年级上册及教师教学用书[M]．北京：北京师范大学出版社，2014年7月出版．

[3]马复．数学八年级下册及教师教学用书[M]．北京：北京师范大学出版社，2014年11月出版．

[4]马复．数学九年级上册及教师教学用书[M]．北京：北京师范大学出版社，2014年6月出版．

[5]马复．数学九年级下册及教师教学用书[M]．北京：北京师范大学出版社，2014年11月出版．