用导数证明函数不等式的技巧

广东省湛江市第二中学(524006) 张会学

用导数证明函数不等式的技巧

广东省湛江市第二中学(524006) 张会学

我们常见的不等式有一元一次不等式,一元二次不等式,分数不等式,基本不等式,柯西不等式,三角不等式,绝对值不等式等等,但是在高中阶段,特别是高三的一些压轴题中,会经常出现其他的不等式,比如将基本初等函数中的对数函数,指数函数,幂函数等混合一起,或对自变量x加一些条件,构成一个新的不等式,这种不等式我们不能用常规的证明方法,柯西不等式和基本不等式等会失效.此时我们就需要借助导数这个强大的工具,将这种函数不等式的问题转化为函数最值问题来处理.下面将通过一些例题来探讨用导数来处理这类函数不等式问题的方法.

一、直接作差构造函数法

例1证明xlnx＞x−1(x＞0).

证明 设函数F(x)=f(x)−g(x)=xlnx−(x−1),则F′(x)=lnx,由F′(x)=lnx=0,得到x=1.当x∈(0,1),F′(x)=lnx＜0,函数F(x)单调递减.当x∈(1,+∞),F′(x)=lnx＞0,函数F(x)单调递增.所以F(x)min=F(1)=0,因此F(x)≥0,即原不等式成立.

点评 对于一些简单的类似xlnx＞x−1不等式,即函数f(x)≥g(x)的证明,我们可以直接作差构造出新的函数F(x)=f(x)−g(x),再利用函数的单调性求出F(x)的最小值,只需fmin(x)≥0即可.

二、变形作商构造函数法

函数f(x)的单调性如下

x (0,1)1(1,2)2(2,+∞)f′(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值−

由单调性易知,f(x)＜f(0)=1,极大值所以当x＞0时,f(x)＜1,原不等式得证.

点评 这个不等式如果直接作差证明又比较困难,导函数的零点不易求出,给后面的证明带来麻烦,但是我们如果通过作商变形一个新函数,再来证明新函数最值就显得容易得多.这种作商变形要注意式子的正负和不等号的变化.当f(x)＞0时,要证

三、移项构造双函数比较法

分析

证明x＞0,要证只需证

令f(x)=xlnx+1,由因此,当函数f(x)单调递减;当,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)最小值同理求得函数g(x)的最大值由于所以f(x)＞g(x),原不等式得证.

点评 这个题目笔者先尝试用前面两种方法证明,均以失败告终,不论是作差构造函数,和作商构造函数都不太好做,然后想到将这个函数一分为二,变成两个函数f(x)与g(x),再分别求出两个函数的最值,发现fmin(x)＞gmax(x),山重水复疑无路,柳暗花明又一村,这样此题就得出证明了.这种思想方法就是先变形,然后证明f(x)＞g(x)⇔fmin(x)＞gmax(x).

四、利用熟知不等式放缩法

例4证明(xlnx+1)ex−2x＞0(x≥1).

分析 由于

这两个不等式比较容易证明,同时会经常出现,因此我们可以利用这两个熟知的不等式来放缩,然后再加以证明.

证明 因为xlnx＞x−1,xlnx+1＞x,所以(xlnx+1)ex−2x＞xex−2x.

要证明(xlnx+1)ex−2x＞0,只需证xex−2x＞0.

令h(x)=x2+2x−2,函数h(x)在[1,+∞)递增,所以h(x)≥h(1)=1＞0,因此原不等式得证.

点评 这个不等式的证明我们也尝试了前面几种解法,但是发现直接作差求导,变形作商求导都不济于事,构造两个函数比较最值也行不通,因为这里找出两个函数f(x)和g(x),使得fmin(x)＞gmax(x)是比较困难的.这时我们可以想到利用熟知的函数不等式加以放缩,要证A＞B,我们可以找个中间值C,若A＞C且C＞B,这样就这样推出A＞B了.通常放缩之后,要使得函数的单调性,极值点和最值都比较好计算,再证明就比较容易了.当然对于放缩的不等式:一般还需要简单的证明才能使用.最后这个题目如果去掉条件x≥1,实际上也是成立的,这里就不另外阐述了,留给读者自己思考.

五、构造函数单调性证明法

例5 证明当x＞1时,有ln2(x+1)＞lnx·ln(x+2).

分析 根据所证不等式的结构特点,稍加变形,很容易分解出来两边是递推函数的形式这样我们只需构造函数然后证明函数f(x)是在[1,+∞)上是减函数即可.

证明 将原不等式变形为

再次构造函数g(x)=xlnx,由于x＞1,

函数g(x)在(1,+∞)递增,所以g(x)＜g(x+1),即

又x(x+1)(lnx)2＞0,得到f′(x)＜0,函数f(x)递减,所以f(x)＞f(x+1),即

原不等式成立.

点评 这个不等式在分析求证的过程中比较容易看出是一个比较相似的两个函数组合,这时我们应该充分利用结构特点构造一个新函数,通过新函数的单调性去证明不等式成立,而不要直接作差或者变形求导.

解决函数不等式的方法多种多样,这里只是抛砖引玉,在证明这类不等式的时候,要多加思考,对式子结构充分把握,尝试多种方法.当一种方法不行,应马上转换思路.不拘泥于一种方法,切忌一条路走到黑,应该敌变我也变,这样才能找到解决问题的正确方法.