例谈类比法在数学解题中的应用

首都师范大学数学科学学院100048 覃淋

例谈类比法在数学解题中的应用

首都师范大学数学科学学院100048 覃淋

将“杨辉三角”与类比法相结合,讨论了三个著名的问题,并给出了比较简洁的计算方法.最后从现代认知心理学的角度讨论了类比法在数学学习中的重要性.

杨辉三角;类比;应用

杨辉三角,又称贾宪三角,国外通常称为帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》(1261)中,记载了贾宪的著作—《黄帝九章算术细草》里面的大部分内容.其中有一张称为“开方作法本源”的图,根据杨辉的记述,贾宪的高次开方法即以此为基础.下图是我国数学家朱世杰《四元玉鉴》中的“古法七乘方图”.[1]

图1

图2

关于杨辉三角的性质,已有很多的讨论[2-5],这里我们从类比的角度,来讨论杨辉三角的应用.类比法是数学发现发明的重要方法之一,比如将直角三角形与四面体进行类比,可以得到三维空间里的“勾股定理”;通过二维与高维空间的类比,将基本不等式和柯西不等式推广到了n维.历史上最著名的类比,当属欧拉求的和的类比,对于此,波利亚在其著作《数学的发现》中有详细的论述.

类比是某种类型的相似,我们可以说它是一种更确定的和更概念性的相似[6].简单地说,类比就是两类事物具有类似的关系,是一种从特殊到特殊的推理方法,建立在两类事物或对象具有相似性的基础上的.实际上,在数学……