可补形为长方体计算的棱锥外接球问题

河南省洛阳市河南科技大学附属高级中学(471003) 李昭辉

河南省洛阳市洛阳理工学院数学与物理教学部(471023) 童新安

可补形为长方体计算的棱锥外接球问题

河南省洛阳市河南科技大学附属高级中学(471003) 李昭辉

河南省洛阳市洛阳理工学院数学与物理教学部(471023) 童新安

近年来,棱锥的外接球问题作为高考的热点问题,对学生的空间想象能力和逻辑分析能力提出了较高要求.而《普通高中数学课程标准(实验)》中指出[1]：“在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系......”.所以在求解棱锥的外接球问题时,如果能发现棱锥满足的某些特征,将其补形成长方体再进行计算,则往往能达到事半功倍的效果.本文介绍了几种常见的能补形为长方体计算的棱锥外接球模型,并给出了示例.

一、长方体的外接球模型

定理 已知长方体ABCDA1B1C1D1,记其长AB=a,宽AD=b,高AA1=c,则其外接球的球心位于该长方体对角线的中心O处,如图1所示;其外接球的半径为

图1

证明长方体的体对角线交于中点O处,由对称性可知,O点到各顶点的距离相等,则O即外接球的球心;由勾股定理,在Rt△ABD中,AB=a,AD=b,所以所以故其外接球的半径为r=

二、可补形为长方体计算的棱锥外接球模型

模型1“三垂直”模型

如图2.1所示,若三菱锥D-ABC满足DA⊥平面ABC,∠BAC=90◦,AB=a,AC=b,AD=c,则该三菱锥的外接球的半径为

图2.1

图2.2

分析该三棱锥的特点为一顶点A处的三条棱AB、AC、AD两两互相垂……