《高等数学》启发式教学

包弘+周笑峰

【摘要】学习《高等数学》不是单纯的记忆，通过大量的练习掌握所学的知识，数学课堂有责任让学生了解认识数学的本质，老师精心选择问题，巧妙的进行启发，培养学生的数学思维能力。

【关键词】数学课堂；教学；启发式

【中图分类号】G633.41 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）11-0004-01

一、《高等数学》课堂现状

在国内的很多《高等课堂》都是大班教学，一个班都是七八十甚至上百人，严重的违反教学规律，由于人数众多，师生互动就比较困难，老师观察不到所有学生的反应，数学效率比较低，为了保障教学效率，老师花整堂课讲解数学定义、定理及方法，学生通过反复的模仿、练习来掌握老师所讲的内容，数学方法和规律的形成和发展被人为的忽略，现在的教科书，为了遵循数学内部的逻辑性，形式化的表述有关概念、命题、公式，没有把数学的来龙去脉讲清楚，所以很多学生对数学提不起兴趣，觉得枯燥、乏味、学习数学是一件迫不得已的事情。

二、教师教学水平对数学课堂的重要性

著名的数学教育家弗来登塔尔说过：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来[1]。”数学概念、法则、结论的产生和发展经历了反复曲折的过程，数学课堂有责任让学生了解数学的本质，这就对老师的专业素质提出很高的要求。教师不能像教科书上一样的把静态的知识点一一罗列，而是要把数学的本质给学生呈现出来，因为往往在课堂上对教学效率起着决定性作用的是老师的教学水平并非教材的水准。有些老师可以把枯燥无味的知识点讲得生动有趣，而有些水平较差的数学老师，却无法依靠一本好的教材而提高自己的教学水平。

三、教师要善于启发学生

对于课堂教育而言，高等数学要培养能发现问题，提出问题，解决问题的创新型人才，而不是简单的承载知识的容器，数学课堂要给学生展示数学最为鲜活的一面。尽可能的引导学生探索新问题以激发他们的学习兴趣，通过解决实际问题让他们获得成就感。学生在数学课堂上学会以问题为导向有针对性的学习相关方面的知识，这对他们未来的生活和学习都是非常重要的。引导学生就需要有相应的问题情境，这些问题也不是自发产生的，而是教师有目的地进行活动的结果。例如：常数变异法是解线性微分方程的一种非常有用的方法，下面我们以一阶的为例。

课本上先得到对应齐次线性方程的解是。接着就说所谓常数变异法来求非齐次线性方程的通解，就是把通解中的C换成x的未知函数[2]。

对于这样一个结果，学生不知道它的来龙去脉，不明白自己到底在学什么，为什么看似没有任何关联的数学方法就這样生拉硬扯的结合在了一起，形成了解这一类题的思路。作为老师就有责任引导、启发学生，让学生主动的参加创造性的实践活动，领会研究数学中猜想和估计的重要性。

下面通过问题情境的方法启发学生得到一阶齐次线性微分方程的通解：

师：把微分方程改写为，观察这个方程，左边是导数，右边有两项，回忆导数的四则运算，那什么样的函数求导还有两项呢？

生：乘积函数求导有两项。

师：再观察右边，有一部分还保留了y，什么函数求导后自身还存在？

生：含有指数函数。

师：所以猜测解是乘积的形式，并且含有指数函数部分。再来观察齐次的解，它的解是乘积的形式，并且含有指数函数，但可惜的是它求导后只有一项，如果C不是一个常数，而是一个函数，就符合我们的猜想。就猜测的解，这就是常数变异法的由来。

师：我们猜测解是这样，现在问题的关键在哪里？

生：不知道。

师：怎么求？

生：如果是微分方程的解，它就要满足这个微分方程，

代入原方程，得：

即

所以

所以，原方程的通解为：

这样，学生知道了常数变异法是怎么来的，而不是去死记硬背一些解题套路，锻炼学生的猜测能力和解决问题的能力，调动了学生的积极性，激发学生的求知欲。

参考文献

[1]韩龙淑.数学启发式教学研究述评[J].教学与管理，2008.11.

[2]同济大学数学系.高等数学第七版（上）[M].高等教育出版社，2014.1.endprint