基于质心值及离散度的模糊数排序

王晓连，王桂祥

(杭州电子科技大学运筹与控制研究所，浙江 杭州 310018)

基于质心值及离散度的模糊数排序

王晓连，王桂祥

(杭州电子科技大学运筹与控制研究所，浙江 杭州 310018)

给出模糊数的质心值的概念，讨论其运算及性质，并基于模糊数的质心值和离散度在模糊数空间上构造了2个用来排序模糊数的弱序二元关系.

质心值；离散度；弱序；模糊数的排序

0 引 言

模糊数的排序具有较强的应用背景，一直备受学者们的关注，例如，文献[1]基于距离给出了一种模糊数的排序方法；文献[2-3]均给出了一种排序模糊数的改进方法；文献[4]则提出了一种对推广了的模糊数进行排序的方法.虽然有关模糊数的排序方法方面已获得的研究成果较多，但其方法的建立基本上都是基于模糊数的均值这一数字特征建立起来的.本文直接使用模糊数的隶属函数本身定义了一个能合理、客观地刻画该模糊数的实数量(本文称之为“模糊数的质心值”)，并由此构造出用来排序模糊数的模糊数空间上的弱序二元关系.本文定义的“模糊数的质心值”与文献[5-8]所提到的“模糊数的质心”的概念是不同的，因为文献[5-8]提到的“模糊数的质心值”其实不具有质心应有的几何特征.本文通过将模糊数的隶属函数u(x)视为x轴上的密度函数这一想法来定义“模糊数的质心值”这一概念.这样定义的“模糊数的质心值”既具有质心应有的几何特征，又能够较好地刻画(逼近)模糊数u.

1 预备知识

X为论域，称映射u:X→[0,1]为X上的一个模糊集(合)，对任意x∈X，称值u(x)为x对u的隶属(程)度，函数u(x)称为模糊集(合)u的隶属函数.

模糊数是定义在实数域R上的一种特殊的模糊集：如果u∈F(R)(论域R上的模糊集合的全体)满足正规性，模糊凸性，上半连续，且u的支集的闭包昰紧的，则称u是一个模糊数.模糊数的全体称为模糊数空间，记为E.

设u∈E，若存在满足a0≤a1≤b1≤b0的a0,a1,b0,b1∈R使得

则称u为梯形模糊数，记为u=(a0,a1,b1,b0)，用Tra-E表示梯形模糊数的全体.特殊地，当a1=b1时，称u为三角形模糊数，记为u=(a0,a1,b0)，用Tri-E表示三角形模糊数的全体.

设u∈E，记

称(L)D(u)和(R)D(u)分别为u的左-离散度和右-离散度，称D(u)=(L)D(u)+(R)D(u)为u的离散度.

2 模糊数的质心值

引理2.1设u=(a0,a1,b1,b0)∈Tra-E，则有

性质2.1k∈R，u为梯形模糊数，则有

kB(u)=B(ku).

证明设u=(a0,a1,b1,b0)，则有

当k≥0，对于任意r∈[0,1]，由引理2.1可知

当k<0时，与上述方法同理可得B(ku)=kB(u).故kB(u)=B(ku)，性质2.1得证.

性质2.2k∈R，u，v均为三角形模糊数，则有

(1)B(u+v)=B(u)+B(v)；

(2)u≤v⟹B(u)≤B(v).

3 模糊数的排序

定义3.1定义Tri-E上的一个二元关系，即(Tri-E)×(Tri-E)上的一个子集“”如下：

={(u,v)∈(Tri-E)×(Tri-E):B(u)≤B(v)}.

如果(u,v)∈，则称u比v(关于)小或v比u(关于)大，并记为uv.

在实际应用中，“uv”一般表示u所表示的目标或对象劣于v所表示的目标或对象(也即v所表示的目标或对象优于u所表示的目标或对象).

性质3.1对于任意u,v∈Tri-E，则有

(1)uu(自反性)；

(2)uv,vω⟹uω,∀ω∈Tri-E(传递性)；

(3)uv和vu中至少有一个成立(完全性).

证明由于B(u)≤B(u)成立，故uu成立，即(1)得证.因uv,vω，所以由定义3.1知，B(u)≤B(v),B(v)≤B(ω)成立，所以B(u)≤B(ω)，即有uω成立，即(2)得证.uv和vu中至少有一个成立，即：B(u)≤B(v)和B(v)≤B(u)中至少有一个成立，这是很显而易见的，即(3)得证.

例3.1设u=(0,50,100),v=(0,30,90)，则B(u)=50，B(v)=40，B(u)>B(v)，根据定义3.1知：u≻v.

例3.2设u=(0,50,100),v=(40,50,60)，则B(u)=B(v)=50，根据定义3.1，u和v是无法排序的，事实上u和v离散度不同，是两个不同的模糊数，因此仅根据定义3.1所得的结果在某种程度上可能存在偏差.

定义3.2α,β为两个取定的大于0的参数，定义Tri-E上的一个二元关系，即(Tri-E)×(Tri-E)上的一个子集“α,β”如下：

α,β={(u,v)∈(Tri-E)×(Tri-E):α(B(u)-B(v))+β(D(v)-D(u))≤0}.

如果(u,v)∈α,β，则称u比v(关于α,β)小或v比u(关于α,β)大，并记为uα,βv.

上述所定义的二元关系同样满足性质3.1中的3个性质，证明过程也是很简单的.

4 结束语

本文通过定义模糊数的质心值的概念给出了一种新的模糊数的排序方法，计算方便，具有一定的合理性、客观性.本文定义的2个弱序二元关系，前者比后者计算更方便，后者比前者更具有合理性和客观性.本文提出的模糊数排序方法仅排序了一维模糊数，对于排序多维模糊数还有待进一步研究.

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[5] Cheng C H. A new approach for ranking fuzzy numbers by distance method[J]. Fuzzy sets and systems,1998,95(3):307-317.

[6] Murakami S, Maeda M, Imamura S. Fuzzy decision analysis in the development of centralized regional energy control systems[J]. Energy developments in Japan,1984,6(4):379-396.

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RankingFuzzyNumbersBasedonCentroidValueandDispersionDegree

WANG Xiaolian, WANG Guixiang

(InstituteofOperationsResearchandControl,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In this paper, we give the concept of centroid value of fuzzy numbers, and discuss its operation and properties. And then, based on centroid value and dispersion degree of fuzzy numbers, we construct two weak ordered relation used for ranking fuzzy numbers in the fuzzy number space.

centroid value; dispersion degree; weak order; ranking of fuzzy numbers

10.13954/j.cnki.hdu.2017.06.017

2017-02-28

国家自然科学基金资助项目(61433001)

王晓连(1992-)，女，河南焦作人，硕士研究生，模糊集合理论及应用.通信作者：王桂祥教授，E-mail:g.x.wang@hdu.edu.cn.

O159

A

1001-9146(2017)06-0091-04