以“逻辑顺序”为线索设置问题串接复习

蒋敏 魏慧

[摘  要] 教师将新的逻辑顺序和思想方法作为新旧知识之间串联的线索引领学生思考，有助于学生更换视角并形成新的认知. 本文通过复习课的实际案例设计与分析，对以“逻辑顺序”为线索进行问题串的设计与复习做出了实践性的思考.

[关键词] 逻辑顺序;线索;问题串;复习

学生对高中数学知识之间所存在的内在关联进行深入的理解往往是在复习课上达成的，不过，高中数学复习课对于广大教师来说并没有相关的衡量标准，数学复习课究竟应该如何设计并实现教学效率的提高一直是一些教师感到迷茫的，本文从复习教学实践课中所存在的问题入手，进行了数学复习课中概念、问题解决的内涵、复习设计等方面的思考与研究.

高中数学复习存在问题

环顾当下的高中数学复习课，存在的问题不少，但是归根到底可以总结为如下两个问题.

1. 重视纠错，忽略思想方法的提炼

采用“刷题”的方式帮助学生找错点，然后订正，这样的复习方式无异于不停地挖坑让学生掉下去，然后再拎上来. 暴露学生学习过程中的缺陷是可以的，但是往往重视对结果的纠正，而忽视了帮助学生衔接思维，找到思想方法、逻辑关系上的缺陷. 数学复习课中仅仅对错误进行纠正往往会导致错误背后所隐含的原因无法呈现，学生即使做再多的练习题也无法对相同类型题目所体现的思想方法产生更多的领会和感悟，从宏观层面对数学进行再认识自然是一纸空谈. ？摇

2. 急于求成，学生个性化思维难以发展

学生对所学知识能够形成结构化的认知以及创造性的内化，在学会融会贯通运用知识的同时提升解题的能力是高中数学复习课应该设定的目标. 但很多教师在复习课中却往往会用大量集中的时间进行知识结构框架的梳理，学生丧失了自己整理解题思路的空间，对于自身在解题中的思维过程也无法进行必要的描述，这样的复习课当然无法令学生个性化的思维得以展现，全体学生在发展过程中有可能存在或展现的个性化思维都被湮灭其中.

以“逻辑顺序”为线索的复习策略

高中数学复习课所包含的内容众多，知识体系、技能要求以及能力发展等都是包含其中的具体内容. 内容解析主要针对数学复习课所应涉及的范围来进行分析与确定，学生在解题中的易错点、解题技能以及技巧上的欠缺都应是教师在内容解析中具体分析的. 具体说来，教师在进行内容解析时应该首先对自己提出以下问题：复习哪些内容？涉及内容之间有何关联？其中的思想方法有哪些？会产生哪些典型错误？复习应达到怎样的深度？这些思考实际上也是在寻找逻辑顺序.

以“逻辑顺序”为线索的复习策略如何组织？笔者认为设置存在内在逻辑顺序的“问题串”是不错的选择，粘连问题的则往往是“理”，即需要学生去推理、探究才能找到其中的逻辑顺序，认清知识间的联系. 人们凭借一个或多个已知判断来进行新判断的确定的思维过程即是我们通常所说的推理. 合情和演绎是我们通常会用到的两种推理的类型. 合情推理必须在已有的事实基础上进行一定的观察、分析、比较、联想以及归纳和类比，经常会运用到的归纳与类比这两种类型的推理均包含在合情推理中. 而演绎推理必须在已有公理、定理的基础上进行严密的逻辑推理. 合情推理出的结论虽然并不一定都是正确的，但它对于人类的创新来说尤其有意义. 演绎推理所得的结论因其推导过程的严密性往往更具权威，证明命题的真假时往往需要运用到它. 我们通常所讲的数学思想方法是人们对数学理论与内容本质所形成的认识，数学思想在数学方法的运用中才能得到展露，两者本质没有区别，只是看待问题的角度各异，因此有“数学思想方法”这一混合型的称谓. 教师将新的逻辑顺序和思想方法作为新旧知识之间串联的线索引领学生思考，有助于学生更换视角并形成新的认知.

以“逻辑顺序”为线索的复习案例

1. 案例1：《计数原理》复习课

（1）教材与学情分析：《计数原理》是每年高考都会涉及的内容，学生对这一章节的认识往往停留于解决问题方案种数的考虑，与其他数学知识往往不会产生联系，事实上，如果从新的角度采取新的思想和方法来理解《计数原理》，学生对《计数原理》的理解和感受都会大不相同.

（2）基于逻辑顺序的问题设计：

问题1：（扇形问题——数列方法）用4种颜色将扇形ADBEC的每个扇形区域分别染色，若要求每一个区域一种颜色且相邻区域颜色各不相同，染色方案一共有几种？

问题2：（走楼梯——斐波拉契数列方法）小明想登上10级台阶，如果每步可爬一级或两级，有多少种不一样的方法？

问题3：（调换座位——贝努利装错信问题）教师在调换4位同学的座位，若想每位同学都不再坐原来的座位，有哪几种调换方法呢？

问题4：（传球问题——纵向考虑的递推思想）传球游戏中有甲、乙、丙、丁四位同学，持球同学可以将球传给其他任何一位，如果从甲发球开始游戏，要求传球5次（发球一样计数）使球回到甲的手中，有多少种方法？

问题5：（几何问题——等差数列的应用）已知△ABC内有1004个点，包含A，B，C三点在内的1007个点中的任意三点都不在一条直线上，若将这些点视作顶点，互不重叠的三角形有多少呢？

（3）案例評析：这类属于信息加工方式模块的数学思想方法建立的关键在于所选择的角度与意图. 学生在这样的不同角度或立意下进行更换视角的重新审视往往更有新鲜感. 本案例中所设计的5个问题能够使学生从数列的角度、函数的角度对问题进行思考，解决问题时还采用了递推的思想方法，这使得《计数原理》问题的解决获得了不同的途径，数学学习的魅力也在此展现.

2. 案例2：《等差数列》复习课

（1）教材与学情分析：虽然数列是一个特殊的函数这一性质是为大家所熟知的，但学生在数列学习中一般却往往丝毫没有这样的感受，利用函数思想解决数列问题对于学生来说更加遥不可及，因此，笔者在综合学生的实际需要以及课型特征的基础上采取了新的推理和思想对《等差数列》这一复习课做出了新的设计.

（2）基于逻辑顺序的问题设计：

问题1：已知等差数列{an}中的第3、第7两项，an能确定吗？

追問：已知这两项就能确定an的理由是什么？

设计意图：问题1的设计意图在于引出等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d之时使学生认识到（n，an）是直线上的离散点. 如此设计使得学生对等差数列是特殊线性函数这一性质产生明确的认知，继而认识到两个不同的点才能确定一条直线.

问题2：若数列{an}满足an=pn+q（p，q是常数），证明{an}是等差数列.

设计意图：问题2的设计主要为了使学生能够在回顾定义的同时学会用定义证明等差数列.

问题3：若数列{an}满足2an=an-1+an+1（n≥2），记Sn=a1+a2+…+an且a4=4，则可求值（  ）

A. S6  B. S7  C. S8  D. S9

设计意图：问题3的设计主要是为了等差中项的复习以及采用2an=an-1+an+1（n≥2）证明等差数列的方法.

追问：S7与a1，d均无关，为什么？

设计意图：此处的追问目的在于揭示等差数列的几何背景.

问题4：若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=S4=8. （1）求S10的值;（2）求Sn的最大值.

设计意图：通过“一题多解”使得等差数列前n项和的公式、性质得到有效的复习与巩固，使学生能够清醒地认识到点（n，Sn）是抛物线上的离散点，函数方程与数形结合思想都在解题与讨论中得到了有效的渗透.

问题5：若等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=An2+Bn（A，B是常数），求证数列{an}为等差数列.

设计意图：通过问题5的探究使得等差数列前n项和的本质特征在学生面前清晰地展露，使得学生对核心概念的理解深入、准确而到位.

（3）案例评析：学生第一次从函数的角度对等差数列的通项公式以及前n项和公式进行了新的认识，认识层次与理解深度都得以提升. 复习课中可以经常使用数学诸多思想方法为线索进行新旧知识的串联以达成有效的复习.

虽然很多的问题有其固有的解决模式，但新的推理与思想作为复习课的线索往往能让学生更换理解与解决问题的视角，问题的解决因此变得更为立体，数学知识的融会贯通在学生的意识中也会生根发芽.