分类讨论思想在高中数学解题中的应用

葛超

摘 要：随着新课改的不断深入发展，高中数学解题中分类讨论思想被广泛的应用。分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象、发展思维方面起着重要作用。在高中数学解题过程中应用分类讨论思想，可以将题目研究对象进行分解，将复杂的题目简单化，降低题目难度，帮助发展学生的思维。

关键词：分类讨论 高中数学 解题应用

随着我国高考制度的不断完善与发展，无论是文科还是理科，数学在高考中的地位越来越重要，在抓基础知识的基础上，能力的培养与拔高也逐渐体现出来。因此，高考数学题在难度上也对考生提出了一定要求，特别是在选择填空最后一题，以及大题的最后两道。分类讨论思想在解题过程中有着关键的作用。這一思想对如何把握解题思路、如何得到正确答案有着重大影响，同时，分类讨论思想在发散学生思维，培养学生全面思考问题，建立严谨的思维方式有着明显的促进作用，它能够培养学生的思维、动手、观察等能力和团结协作的精神。[1]

一、分类讨论思想的基本概述及其在数学解题中的作用

我们在解决某些数学问题时，常常会遇到这样一种情况：解到某一步后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的。当被研究的问题包含了多种情况，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究，这就是分类讨论思想方法。

分类讨论思想通常以概念的划分、集合的分类为基础，主要有以下几个方面：一是分类意识，即什么情况下需要分类；二是如何分类，即要科学地分类，分类要标准统一，不重不漏。三是分类之后如何科学地研究；四是如何合理地整合。[2]

通过分析、总结历年来的高考考点，可以看出分类讨论的数学方法是其中的一个重要知识点。这主要是因为分类讨论方法可以很好地锻炼学生的逻辑思维，这对于解决其他的实际问题也非常必要。而且一般分类讨论问题的综合性较强，这样考查考生多方面的知识，评估学生的实际学习能力。其次，掌握分类讨论思想，有利于更好地解决实际问题，比如数学概念中会有分类讨论的问题，包括等比数列前n项和公式、绝对值定义等；数学运算公式中有不等式两边同时乘以一个实数后对于不等号方向有何影响、偶次方根非负等；参数变化中参数取值不同导致结果不同；参数值不同采用不同的证明方法或者求解方法等。这些问题都必须采用分类讨论思想解决。

二、分类讨论思想在高中数学解题中的应用

1.高中数学的相关题型。在高中数学中，有很多的模块都会用到分类讨论思想。常见的比如：函数问题，不等式问题，等差等比数列问题，集合概率问题，以及平面几何中的动点问题。在遇到这一类问题的时候，基本都要用到分类讨论思想。原因很简单，这一类问题会出现多种情况，而且喜欢在知识的交汇处考查学生，因此遇到这一类问题时，需要在大脑中产生分类讨论思想，从而提高做题效率，避免因为盲目而浪费时间或者降低准确率，进而在高考中能够取得理想成绩。

2.分类讨论思想的实际应用。高中数学题型之多，题量之大，上过高中的同学应该都深有体会。因此想要熟练掌握分类讨论思想，需要在大量刷题的基础上加以归纳总结，对题海进行分类，从而在应试时能够轻车熟路，使思维更加活跃，思路更加清晰。

（1）在几何和概率中的应用。从简单的题型来说，统计概率问题，这一类题目中经常用到分类讨论思想。例如：在集合中，我们就需要考虑空子集的存在可能性问题，统计中的不同排列组合的可能性的问题。在概率问题中，经常出现的错误就是漏掉了某种情况。采取分类讨论思想，系统全面的思考问题，能够大幅度的减少这一类的失误，提高答题准确率。

（2）在平面几何中的应用。在平面几何问题中，经常遇到的动点问题。由于点运动的方向不确定，点运动的位置不确定，因此必须要使用分类讨论的思想。这种题型很多同学可能会直接放弃，其实这是错误的思维方式，分类讨论思想不仅仅是为了得到最后的结果，更大程度上是考察思维过程，在这一类题中，过程的分往往比结果分数要高，而这个过程，就是分类思考的过程。因此，掌握分类讨论思想，对数学提高分数有着很大的作用。这个解题思维能让你轻松找到解题突破口，从而一步一步找到正确答案。

（3）在函数不等式中的应用。在函数不等式方面，分类讨论思想在这些题目中的作用更加重要。特别是在含有参数的情况下，例如：aX2+X>c这种类型中，我们需要讨论a>0，a<0，a=0三种情况。这种题看起来复杂，实际上并不是这样，很多同学也是，看到这种题目就想放弃，其实这是很错误的想法，熟练掌握分类讨论思想，对于这种问题便可以迎刃而解，看似复杂的背后，其实就是由若干小问题组合而成，分类讨论思想就是帮你把这些小问题一个一个的拿出来，具体的分析解决，即使最后没有得到结果，但是过程分已经收入囊中。就像庖丁解牛一样，一点一点，一步一步的解决问题。

三、分类讨论思想在高中阶段的重要性

让学生全方位思考问题，活跃学生的思维。在应试中，碰到复杂的问题，不至于惊慌失措无从下手，在解决问题时条理更加清晰，思维更加严谨，在应试中心态更加平稳，更加得心应手。让学生更加深刻的理解高中数学。诚然基础知识占据大部分，但数学思维的掌握也是不可忽视的地位，它能让学生从被动的学习变为主动的思考，这也是学习方式的一个变化，正是这种变化使得学生在考试当中能够占优势。促进学生之间的交流与合作。解题方法老师同学都可以教授，而思维的发散培养，从根源上来讲，更需要学生自己的一步步努力培养，一步步地在实践中积累适合自己的解题经验。

结语

综上所述，分类讨论思想是高中数学解题中非常重要的一种解题思想，在历年高考中也是重点考查的知识点。在数学解题中学会应用分类讨论思想，有利于学生数学思维的培养和发展，提高学生的数学素养，教师在实际教学过程中应该不断渗透分类讨论思想，使学生能够更好地掌握这种数学思想。[3]

参考文献

[1]刘祝芸.关于分类讨论思想在高中数学解题中的应用思考[J].经贸实践，2016，（19）：80.

[2]宋远芬，孙德贵.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].科技风，2015，（13）：186.

[3]朴希兰，朴勇杰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2015，（07）：169-170.endprint